Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с мень­шим ос­но­ва­ни­ем 4 см, бо­ко­вой сто­ро­ной 8 см и углом 120°. Через ребро B1C1 и вер­ши­ну A приз­мы про­ве­де­но се­че­ние. Най­ди­те объем ци­лин­дра, впи­сан­но­го в эту приз­му, если пло­щадь се­че­ния равна 64 см2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B1C1 па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB1C1D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

AH=AB синус \angle ABH=8 синус левая круг­лая скоб­ка 120 гра­ду­сов минус 90 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка =8 синус 30 гра­ду­сов =8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =4.

Ана­ло­гич­но, KD=4 и тогда

AD=AH плюс HK плюс KD=4 плюс BC плюс 4=4 плюс 4 плюс 4=12.

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B1H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

64=S_AB_1C_1D= дробь: чис­ли­тель: AD плюс B_1C_1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на B_1H= дробь: чис­ли­тель: 12 плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на B_1H=8B_1H,

от­ку­да B_1H=64 : 8=8 .

Далее,

BH=BA ко­си­нус 30 гра­ду­сов =8 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , BB_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: B_1H в квад­ра­те минус BH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 минус 48 конец ар­гу­мен­та =4 .

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

V= Пи R в квад­ра­те h= Пи умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те умно­жить на 4=48 Пи .

Ответ: 48 Пи .


Аналоги к заданию № 1407: 1417 Все

Классификатор алгебры: 3.2. Пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, 3.16. Ци­линдр, 3.24. Ком­би­на­ции мно­го­гран­ни­ков и круг­лых тел, 4.4. Объёмы круг­лых тел
Методы алгебры: Вспо­мо­га­тель­ная окруж­ность, Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024