Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ: