Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 236 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 2.5. Расстояние от точки до плоскости

Методы алгебры: Вспомогательная окружность, Теорема Пифагора

Найдите расстояние от точки M до плоскости равнобедренного треугольника ABC, зная, что AB = BC = 13 см, AC  =  10 см, а точка M удалена от каждой стороны треугольника на $целая часть: 8, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3$ см.

Решение. Пусть данные задачи изображены на рисунке (см. рис). Плоскость равнобедренного треугольника ABC и не лежащая на ней точка M образуют треугольную пирамиду. Поскольку все расстояния от точки M до сторон треугольника равны, точка H (в неё падает высота пирамиды) является центром вписанной окружности треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике ABK найдём BK по теореме Пифагора:

$BK = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = 12 см.$

Найдём площадь S треугольника ABC:

$S = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BK умножить на AC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 умножить на 10 = 60 см в квадрате .$

Теперь найдём радиус r вписанной окружности треугольника ABC:

$r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 60, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 13 плюс 13 плюс 10 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби см.$

Из прямоугольного треугольника MHK по теореме Пифагора найдём MH:

$MH = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка целая часть: 8, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = 8 см.$

Ответ: 8 см.

236

Классификатор алгебры: 2.5. Расстояние от точки до плоскости

Методы алгебры: Вспомогательная окружность, Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	236	8