Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 370
i

Тело со­сто­ит из двух ко­ну­сов, име­ю­щих общее ос­но­ва­ние и рас­по­ло­жен­ных по раз­ные сто­ро­ны от плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти шара, впи­сан­но­го в тело, если ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­сов равен 1, а вы­со­ты  — 1 и 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим плос­кост­ное се­че­ние двух ко­ну­сов и впи­сан­но­го шара. На ри­сун­ке BH  =  HD  =  1 см  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ния ко­ну­сов. Тогда вы­со­ты ко­ну­сов CH и AH со­от­вет­ствен­но равны 2 и 1 см.

Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти, се­че­ния впи­сан­но­го шара: S_ABCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD умно­жить на CA умно­жить на синус CHD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 1=3см в квад­ра­те .

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BHA и DHA равны по двум ка­те­там. Тогда при­ме­ним для них тео­ре­мы Пи­фа­го­ра и по­лу­чим BA=AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см. Ана­ло­гич­но, для тре­уголь­ни­ков BHC и DHC имеем BC=CD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та см. Тогда P_ABCD=2 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка см.

Зная пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: S_ABCD=pr, от­ку­да r= дробь: чис­ли­тель: S_ABCD, зна­ме­на­тель: p конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та см.

Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти впи­сан­ной сферы, зная ее ра­ди­ус: S=4 Пи r в квад­ра­те =4 Пи левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =4 Пи левая круг­лая скоб­ка 7 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка см в квад­ра­те .

 

Ответ: 4 Пи левая круг­лая скоб­ка 7 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка см в квад­ра­те .

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Ком­би­на­ции круг­лых тел, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024