РЕШУ ЦТ — математика–11

Задания

Задание № 409 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 6.10. Уравнения на введение вспомогательного угла

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Замена t = A sin x + B cos x, Формулы кратных углов

Задания на 9 баллов

Решите уравнение $12 синус x минус синус 2x=12 плюс 12 косинус x.$

Решение. Упростим:

$12 синус x минус синус 2x=12 плюс 12 косинус x равносильно$
$равносильно 12 левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x=12.$

Пусть $синус x минус косинус x=t,$ тогда:

$левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате =t в квадрате равносильно синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$

$равносильно 1 минус 2 синус x косинус x=t в квадрате равносильно минус 2 синус x косинус x=t в квадрате минус 1.$

Имеем:

$12t плюс t в квадрате минус 1=12 равносильно t в квадрате плюс 12t минус 13=0 равносильно совокупность выражений t= минус 13,t=1. конец совокупности .$

Откуда

$совокупность выражений синус x минус косинус x= минус 13, синус x минус косинус x=1. конец совокупности .$

Заметим, что первое уравнение не имеет решений, решим второе:

$синус x минус косинус x=1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

409

$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Классификатор алгебры: 6.10. Уравнения на введение вспомогательного угла

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Замена t = A sin x + B cos x, Формулы кратных углов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	409	$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$