Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 440 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плоскостями, 3.3. Правильная четырёхугольная пирамида, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Задания на 10 баллов

Дан конус, радиус основания которого равен высоте. Найдите двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус.

Решение. Пусть радиус основания конуса равен $aсм,$ тогда $OP=aсм$ и $AB=a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см,$ так как основание пирамиды  — вписанный в окружность квадрат. В прямоугольном треугольнике $PAO$ по теореме Пифагора:

$PA в квадрате =PO в квадрате плюс AO в квадрате равносильно PA в квадрате =a в квадрате плюс a в квадрате равносильно PA в квадрате =2a в квадрате равносильно PA=a корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента см.$

Заметим, что $PA=AB=CB=CD=AB=PB=PC=PD,$ то есть, грани пирамиды  — правильные треугольники. Пусть точка M  — середина ребра PD, откуда $AM= дробь: числитель: a корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ и $\angle AMC$ равен углу между боковыми гранями пирамиды. По теореме косинусов в треугольнике AMC:

$косинус \angle AMC= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,$ откуда $\angle AMC= Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$

Ответ: $\angle AMC= Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$

440

$\angle AMC= Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$

Методы алгебры: Теорема Пифагора, Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	440	$\angle AMC= Пи минус арккосинус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби }.$