Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 50 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Осевое сечение конуса имеет угол при вершине, равный 120°. Объем конуса  — $3 корень из: начало аргумента: 3 Пи конец аргумента$ см³. Найдите площадь сферы, описанной вокруг конуса.

Решение. Проведем осевое сечение конуса, получим равнобедренный треугольник SAB и описанную вокруг него окружность (большая окружность данной сферы). По условию $\angle ASB=120 градусов,$ тогда $\angle SAB=\angle SBA= дробь: числитель: 180 градусов минус 120 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =30 градусов.$

Треугольник SOB прямоугольный, тогда имеем: $SO=h=OB умножить на тангенс 30 градусов= дробь: числитель: OB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби см в квадрате .$

Найдем объем конуса по формуле $V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн. умножить на h:$

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в квадрате умножить на h= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на Пи OB в квадрате умножить на дробь: числитель: OB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: OB в кубе умножить на Пи умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби см в кубе .$

По условию $V=3 корень из: начало аргумента: 3 Пи конец аргумента = дробь: числитель: OB в кубе умножить на Пи умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 9 конец дроби ,$ тогда OB  =  3 см, AB  =  2OB  =  6 см.

По следствию из теоремы синусов $дробь: числитель: AB, знаменатель: синус ASB конец дроби =2R,$ тогда $R= дробь: числитель: 6, знаменатель: 2 синус 120 градусов конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента см.$

По формуле площади описанной сферы получим: $S=4 Пи R в квадрате =4 Пи умножить на левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =48 Пи см в квадрате .$

Ответ: $48 Пи см в квадрате .$

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 3.19. Шар, 3.23. Комбинации круглых тел, 4.3. Площадь поверхности круглых тел

Методы алгебры: Теорема синусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	50	48