Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 590
i

Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 2 см, пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна 2 см2. Най­ди­те, во сколь­ко раз пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). Вы­ра­зим пло­щадь S осе­во­го се­че­ния APB:

S = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AP умно­жить на PB умно­жить на синус \angle APB = 2 синус \angle APB.

По­сколь­ку S  =  2 см2,  синус APB = 1, то есть угол APB равен 90°. Пло­щадь Sосн ос­но­ва­ния ко­ну­са равна  Пи умно­жить на OB в квад­ра­те , а пло­щадь Sполн пол­ной по­верх­но­сти  —  Пи умно­жить на OB в квад­ра­те плюс Пи умно­жить на OB умно­жить на PB. Две эти ве­ли­чи­ны имеют сле­ду­ю­щее от­но­ше­ние:

 дробь: чис­ли­тель: S_полн, зна­ме­на­тель: S_осн конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи умно­жить на OB в квад­ра­те плюс Пи умно­жить на OB умно­жить на PB, зна­ме­на­тель: Пи умно­жить на OB в квад­ра­те конец дроби = 1 плюс дробь: чис­ли­тель: PB, зна­ме­на­тель: OB конец дроби .

 

Так как PO  — вы­со­та, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка POB имеем:

 

 дробь: чис­ли­тель: OB, зна­ме­на­тель: PB конец дроби = ко­си­нус \angle PBO = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 180 минус \angle APB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус дробь: чис­ли­тель: \angle APB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = синус 45 гра­ду­сов.

 

Итак, от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

 

1 плюс дробь: чис­ли­тель: PB, зна­ме­на­тель: OB конец дроби = 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = 1 плюс ко­рень из 2 .

Ответ: в  левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка раз.

Классификатор алгебры: 3.17. Конус, 4.3. Пло­щадь по­верх­но­сти круг­лых тел
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние три­го­но­мет­рии