Образовательный портал «РЕШУ ЦТ» — математика–11

Задания

Задание № 620 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1.6. Угол между плоскостями, 3.6. Неправильные пирамиды, 3.17. Конус, 3.24. Комбинации многогранников и круглых тел

Конус вписан в пирамиду, основанием которой является равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 8 см. Объем конуса равен $дробь: числитель: 8 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби$ см³. Найдите угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания.

Решение. Трапеция ABCD равнобедренная, в которой BC = 2 см, AD = 8 см. Так как трапеция описана около окружности основания конуса, то AB + CD = BC + AD, но AB = CD, тогда

$AB = CD = дробь: числитель: 2 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби = 5$ см.

Найдём площадь трапеции ABCD и радиус вписанной в неё окружности. Так как HM = BC и AH = MD, то

$AH = MD = дробь: числитель: 8 минус 2, знаменатель: 2 конец дроби = 3$ см.

Из треугольника ABH по теореме Пифагора находим = 4 см. Тогда площадь трапеции

$S_ABCD = дробь: числитель: AD плюс BC, знаменатель: 2 конец дроби умножить на BH = дробь: числитель: 2 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 = 20$ см².

По формуле S = p · r найдём радиус основания конуса

$r = дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 20, знаменатель: 10 конец дроби = 2$ см.

По формуле объёма конуса $V = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн h$ найдём высоту:

$h = дробь: числитель: 3 V, знаменатель: S_осн конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на дробь: числитель: 8 Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: 4 Пи конец дроби = 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ см.

Точка K  — точка касания окружности, вписанной в трапецию ABCD, с боковой стороны трапеции. Тогда угол PKO является углом наклона боковой грани ABP к основанию пирамиды. Треугольник POK прямоугольный, тогда

$тангенс \angle PKO = дробь: числитель: PO, знаменатель: OK конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;\angle PKO = 60 градусов.$

Так как все боковые грани пирамиды равнонаклонены к её основанию, то угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания равен 60°.

Ответ: 60°.

620

60°.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	620	60°.