РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 844 Добавить в вариант

Найдите произведение наибольшего и наименьшего целых решений неравенства $левая круглая скобка 2 в степени x минус 31 правая круглая скобка левая круглая скобка 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 26 правая круглая скобка \leqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

Найдем нули каждого из множителей и решим методом интервалов:

$2 в степени x =31 равносильно x= логарифм по основанию 2 31.$

$5 в степени x в степени п люс в степени 1 =26 равносильно 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 26 правая круглая скобка равносильно x= логарифм по основанию 5 26 минус 1.$

Заметим, что:

$логарифм по основанию 2 16 меньше логарифм по основанию 2 31 меньше логарифм по основанию 2 32 равносильно 4 меньше логарифм по основанию 2 31 меньше 5$ и $логарифм по основанию 5 25 минус 1 меньше логарифм по основанию 5 26 минус 1 меньше логарифм по основанию 5 125 минус 1 равносильно 1 меньше логарифм по основанию 5 26 минус 1 меньше 2.$

Тогда $логарифм по основанию 2 31 больше логарифм по основанию 5 26 минус 1.$ Учитывая все отношения между числами, методом интервалов получаем, что $логарифм по основанию 5 26 минус 1 меньше или равно x меньше или равно логарифм по основанию 2 31.$ Наименьшим и наибольшим целым решением неравенства являются числа 2 и 4 соответственно (см. изображение).

Итак, произведение этих чисел  — 8.

Ответ: 8.

Приведем другое решение.

Первый множитель положителен, если $2 в степени x больше 31,$ то есть при $x больше или равно 5$ и отрицателен при $x меньше или равно 4$ (нас интересуют только целые значения x). Аналогично второй положителен при $5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 26,$ то есть при $x плюс 1 больше или равно 3,$ $x больше или равно 2$ и отрицателен при $x меньше или равно 1.$ Значит, разные знаки у множителей будут при $x принадлежит левая фигурная скобка 2,3,4 правая фигурная скобка .$ Поэтому ответ на задачу $2 умножить на 4=8.$

Спрятать решение · Помощь