Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь сферы, вписанной в пирамиду, если апофема пирамиды равна 12 см.
Пусть M и N — середины ребер BC и AD основания пирамиды SABCD соответственно, рассмотрим сечение пирамиды плоскостью SMN. В этом сечении получится треугольник SMN, который будет равносторонним, так как SM — апофема грани, а MN перпендикулярна BC, откуда 
поскольку это и есть угол при ребре основания, а сечением сферы станет вписанная в этот треугольник окружность того же радиуса, что и сфера.
Радиус вписанной окружности правильного треугольника это треть его высоты, откуда 
Значит, площадь ее равна 
Ответ: 