Ре­ше­ние.

При­мем длину ребра куба за Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков PKM и PAC сле­ду­ет, что

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — квад­рат, от­ку­да ана­ло­гич­но Из усло­вия сле­до­ва­тель­но, Под­ста­вим дан­ные в от­но­ше­ния, по­лу­чен­ные из по­до­бия, и най­дем a:

Ответ:

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть вер­ши­ны A₁, B₁ ,C₁, D₁ куба лежат на реб­рах PA, PB, PC, PD пи­ра­ми­ды со­от­вет­ствен­но, а A₂, B₂, C₂, D₂  — их про­ек­ции на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды (и есте­ствен­но осталь­ные вер­ши­ны куба, по­сколь­ку его бо­ко­вые ребра долж­ны быть пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­сти ос­но­ва­ния). Тогда плос­кость A₁B₁C₁D₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, а вер­ши­ны A₂ и C₂ лежат на диа­го­на­ли AC ос­но­ва­ния (по­сколь­ку про­ек­ция P лежит на этой диа­го­на­ли). Обо­зна­чим ребро куба за x и рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью PAC. По­сколь­ку A₁C₁ || AC, тре­уголь­ни­ки PAC и PA₁C₁ по­доб­ны, по­это­му их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их сто­ро­ны. При этом и

Зна­чит,