Через се­ре­ди­ны рёбер DD₁ и D₁C₁ про­ведём пря­мую N₁M₁. Так как N₁M₁ || NM, через точку N₁ и се­ре­ди­ну K₁ ребра A₁D₁ про­ведём пря­мую N₁K₁ || NK. Угол K₁N₁M₁  — ис­ко­мый.

Так как тре­уголь­ник M₁N₁K₁ рав­но­сто­рон­ний, то ис­ко­мый угол равен 60°.

Ответ: 60°.

Най­дем длину диа­го­на­ли куба:

Ответ: а).

Най­дем длину диа­го­на­ли куба:

Ответ: г).

Для на­ча­ла найдём длину BA₁ и BC₁, для этого рас­смот­рим квад­рат AA₁B₁B: из со­от­но­ше­ния диа­го­на­ли квад­ра­та и его сто­ро­ны, по­лу­ча­ем, что Ана­ло­гич­но, Угол между век­то­ра­ми равен углу между сто­ро­на­ми AB и BC, то есть 90°. Найдём ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров:

Ответ: 0.

Для на­ча­ла найдём длину AB₁ и AD₁, для этого рас­смот­рим квад­рат AA₁B₁B: из со­от­но­ше­ния диа­го­на­ли квад­ра­та и его сто­ро­ны, по­лу­ча­ем, что Ана­ло­гич­но, Угол между век­то­ра­ми равен углу между сто­ро­на­ми AB и AD, то есть 90°. Найдём ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров:

Ответ: 0.

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 5 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 10 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ: