Найдите объем шара, вписанного в треугольную пирамиду, все ребра которой равны см.
Пусть шар с центром в точке О вписан в треугольную пирамиду. Тогда отрезок МО — биссектриса треугольника PMH. Точка H — центр треугольника ABC, тогда
Апофема PM — высота треугольника PBC, поэтому
По теореме Пифагора в треугольнике PMH:
Воспользуемся теоремой о биссектрисе угла в треугольнике HPM:
Найдем объем шара:
Ответ:
Приведем другое решение.
Обозначим ребро пирамиды SABC за a. Oбозначим центр вписанного шара за O, основание высоты пирамиды за H, середину ребра BC за M и точку касания шара с плоскостью PBC за T. Сразу заметим, что T лежит на отрезке PM и делит его в отношении 2 : 1, считая от вершины P. поскольку все грани пирамиды — правильные треугольники.
Заметим, что точка O лежит на биссектрисе угла HMT, поскольку она равноудалена от его сторон ( как радиусы вписанной сферы), поэтому то есть
Значит, объем этого шара равен