Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда где a  — ребро пи­ра­ми­ды. Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, зна­чит, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке PHM:

Так как

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ребро пи­ра­ми­ды PABC за a. Oбо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку ка­са­ния шара с плос­ко­стью PBC за T. Сразу за­ме­тим, что T лежит на от­рез­ке PM и делит его в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны P. по­сколь­ку все грани пи­ра­ми­ды  — пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки.

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон ( как ра­ди­у­сы впи­сан­ной сферы), по­это­му то есть

Зна­чит, объем пи­ра­ми­ды равен