Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, про­дол­же­ние вы­со­ты PH про­хо­дит через центр опи­сан­ной сферы. За­ме­тим, что OC и PO  — ра­ди­у­сы, а PC  — бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды, тогда тре­уголь­ник OPC рав­но­сто­рон­ний, тогда его вы­со­та CH равна Ис­поль­зуя тео­ре­му Пи­фа­го­ра, найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды из тре­уголь­ни­ка PHC:

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, яв­ля­ю­ща­я­ся также ме­ди­а­ной, в пол­то­ра раза боль­ше CH, так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то есть, CH₂ равна Сто­ро­ну ос­но­ва­ния можно найти, ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка:

Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объём пи­ра­ми­ды

Ответ:

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Oбо­зна­чим центр опи­сан­ной сферы за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M. Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ASM. Воз­мож­ны два ва­ри­ан­та  — точка O лежит на от­рез­ке SH или на его про­дол­же­нии за точку H. Пер­вый слу­чай не­воз­мо­жен, по­сколь­ку в нем по­лу­ча­ем

Во вто­ром слу­чае тре­уголь­ник SAO рав­но­сто­рон­ний, по­это­му

Итак, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

Далее,

На­ко­нец,