Ре­ше­ние.

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), пусть O  — центр шара. Про­дол­же­ние вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­хо­дит через центр опи­сан­ной сферы. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, тогда его вы­со­ту можно найти по фор­му­ле:

Так как H  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, от­ре­зок CH в пол­то­ра раза мень­ше вы­со­ты, то есть, равен За­ме­тим, что от­ре­зок CH равен ра­ди­у­су шара, тогда точки H и O сов­па­да­ют, а сле­до­ва­тель­но, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна ра­ди­у­су, то есть, Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, равна Найдём объём пи­ра­ми­ды

Ответ:

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Oбо­зна­чим центр опи­сан­ной сферы за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за H₂. Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ASH₂. Воз­мож­ны два ва­ри­ан­та  — точка O лежит на от­рез­ке SH или на его про­дол­же­нии за точку H. В каж­дом из них пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

и оста­ет­ся лишь найти ее вы­со­ту. Кроме того,

Это озна­ча­ет, что на самом деле точка O сов­па­да­ет с точ­кой H и вы­со­та пи­ра­ми­ды Тогда объем ее равен