РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 1136 Добавить в вариант

Решите систему уравнений $система выражений \lg2 умножить на \lg левая круглая скобка 2x правая круглая скобка =\lg5 умножить на \lg левая круглая скобка 5y правая круглая скобка , десятичный логарифм x умножить на \lg5= десятичный логарифм y умножить на \lg2. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $десятичный логарифм x=a, десятичный логарифм y=b.$ Тогда воспользуемся свойствами логарифма и получим:

$система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка \lg2 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка = \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка , a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg2 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: десятичный логарифм 2 умножить на десятичный логарифм 5 плюс b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =\lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка ,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс \lg2 умножить на дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби минус \lg5 умножить на левая круглая скобка \lg5 плюс b правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 плюс дробь: числитель: b умножить на \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на десятичный логарифм , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка \lg в квадрате 2 минус \lg в квадрате 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби правая круглая скобка =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 1 плюс дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби =0,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: b, знаменатель: \lg5 конец дроби = минус 1,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . \underset\lg5 не равно 0\mathop равносильно система выражений b= минус \lg5,a= дробь: числитель: b умножить на \lg2 , знаменатель: \lg5 конец дроби конец системы . равносильно система выражений b= минус \lg5,a= минус \lg2. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений десятичный логарифм x= минус \lg2, десятичный логарифм y= минус \lg7 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби . конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Приведем другое решение.

Обозначим временно $десятичный логарифм x=a,$ $десятичный логарифм y=b,$ $десятичный логарифм 2=m,$ $десятичный логарифм 5=n.$ Тогда $десятичный логарифм 2x= десятичный логарифм 2 плюс десятичный логарифм x=m плюс a,$ аналогично $десятичный логарифм 5y=n плюс b.$ Тогда второе уравнение примет вид $an=bm,$ а первое вид $m левая круглая скобка m плюс a правая круглая скобка =n левая круглая скобка n плюс b правая круглая скобка .$ Из второго уравнения $b= дробь: числитель: an, знаменатель: m конец дроби .$ Подставим это выражение во второе уравнение:

$m левая круглая скобка m плюс a правая круглая скобка =n левая круглая скобка n плюс дробь: числитель: an, знаменатель: m конец дроби правая круглая скобка равносильно m в квадрате левая круглая скобка m плюс a правая круглая скобка =n левая круглая скобка nm плюс an правая круглая скобка равносильно m в кубе плюс am в квадрате =mn в квадрате плюс an в квадрате равносильно$
$равносильно m в кубе минус mn в квадрате =a левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка равносильно m левая круглая скобка m в квадрате минус n в квадрате правая круглая скобка =a левая круглая скобка n в квадрате минус m в квадрате правая круглая скобка .$

Поскольку $m в квадрате не равно n в квадрате ,$ можно сократить на $n в квадрате минус m в квадрате$ и получить $a= минус m,$ откуда $b= дробь: числитель: an, знаменатель: m конец дроби = минус n.$

Значит, $десятичный логарифм x= минус десятичный логарифм 2,$ откуда $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ и $десятичный логарифм y= минус десятичный логарифм 5,$ откуда $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 1126: 1136 Все

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь