Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 9 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 9x в квад­ра­те минус 24x плюс 16 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Найдём об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний не­ра­вен­ства:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 9x в квад­ра­те минус 24x плюс 16 боль­ше 0,x в квад­ра­те плюс x минус 2 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 2,x боль­ше 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 2,1 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что 9 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , а ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 2= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но сле­ду­ю­ще­му:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка |3x минус 4| минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0

При­ме­ним тео­ре­му о знаке ло­га­риф­ма:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка |3x минус 4| минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0\undersetО. Д. З.\mathop рав­но­силь­но \;\; левая круг­лая скоб­ка |3x минус 4| минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0\underset ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3 мень­ше 0\mathop рав­но­силь­но

\underset ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 3 мень­ше 0\mathop рав­но­силь­но \;\;|3x минус 4| мень­ше или равно x в квад­ра­те плюс x минус 2 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3x минус 4 мень­ше или равно x в квад­ра­те плюс x минус 2,x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,4 минус 3x мень­ше или равно x в квад­ра­те плюс x минус 2, x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти .

Так как пер­вое пред­ло­же­ние со­во­куп­но­сти верно при всех x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , то по­след­няя со­во­куп­ность рав­но­силь­на сле­ду­ю­ще­му не­ра­вен­ству:

x в квад­ра­те плюс 4x минус 6 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ,x боль­ше минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец со­во­куп­но­сти .

На­ко­нец учтём О. Д. З. и по­лу­чим:

си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ,x боль­ше минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , конец си­сте­мы .x не равно дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор алгебры: 5.1. Урав­не­ния пер­вой и вто­рой сте­пе­ни от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Метод ин­тер­ва­лов , Метод ра­ци­о­на­ли­за­ции
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024