Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка MM₁. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC1 равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Из тре­уголь­ни­ка C₁M₁O на­хо­дим

по­это­му вы­со­та приз­мы равна

Зна­чит пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Най­дем мак­си­мум этого вы­ра­же­ния. Обо­зна­чая вре­мен­но по­лу­чим под кор­нем что до­сти­га­ет мак­си­му­ма при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). Зна­чит, от­ку­да AB  =  1 и

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ: