Из множества правильных треугольных призм, периметр боковой грани которых равен 14, найдите полную поверхность той призмы, около которой можно описать шар меньшего радиуса.
Пусть ABCA1B1C1 — правильная треугольная призма, M и M1 — центры ее оснований, O — середина отрезка Поскольку треугольники MOA, MOB, ... MOC1 равны по двум катетам, точка O равноудалена от всех вершин призмы и потому является ее центром описанного шара.
Обозначим длину ребра основания призмы за 6x, тогда высота в основании равна а Кроме того, вертикальное ребро призмы имеет длину значит,
По теореме Пифагора для треугольника OM1C1 получаем, что радиус шара
Наименьшее значение подкоренного выражения достигается при (вершина параболы). При нем же достигается и наименьшее значение корня.
Площадь полной поверхности этой призмы равна
Ответ: