В правильную треугольную пирамиду вписана сфера, центр которой делит высоту пирамиды в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите площадь сферы, если апофема пирамиды равна 20.
Пусть A1 — середина ребра основания пирамиды SABC, точка O — центр основания пирамиды, который делит отрезок AA1 в отношении 2 : 1 считая от A. Пусть далее T — центр сферы, H — основание перпендикуляра, опущенного из T на SA1. Тогда, поскольку AA1 перпендикулярна BC и SO перпендикулярна BC, то и вся плоскость SAA1 перпендикулярна BC, а TH в ней лежит, TH перпендикулярна BC. Следовательно, TH перпендикулярна плоскости SBC и также является радиусом сферы.
Пусть радиус сферы равен r, тогда 
Прямоугольные треугольники STH и SA1O имеют общий острый угол и потому подобны, откуда
Значит, площадь сферы равна 
Ответ: 