В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, центр которой делит высоту пирамиды в отношении 5 : 3, считая от вершины. Найдите площадь сферы, если сторона основания пирамиды равна 18.
Пусть M и N — середины ребер BC и AD основания пирамиды SABCD соответственно, точка O - центр основания пирамиды, который делит отрезок MN пополам. Пусть далее T — центр сферы, H — основание перпендикуляра, опущенного из T на SM. Тогда, поскольку MN перпендикулярна BC и SO перпендикулярна BC, то и вся плоскость SMN перпендикулярна BC, а TH в ней лежит, TH перпендикулярна BC. Следовательно, TH перпендикулярна плоскости SBC и также является радиусом сферы.
Пусть радиус сферы равен r, тогда 
Прямоугольные треугольники STH и SMO имеют общий острый угол и потому подобны, откуда
Значит, 
то есть 
и площадь ее 
Ответ: 