Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CFF₁. В нём угол F₁CF равен 30°, зна­чит, FF₁  =  6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Объём ци­лин­дра будет равен:

Ответ:

Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 5 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 10 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Пусть ребро куба равно Тогда рас­сто­я­ние от цен­тра куба, он же центр ок­та­эд­ра, до всех вер­шин ок­та­эд­ра будет равно a.

Пусть O  — центр куба, A, B, C  — цен­тры трех гра­ней куба, яв­ля­ю­щи­е­ся вер­ши­на­ми одной грани ок­та­эд­ра. Тогда ра­ди­ус впи­сан­ной сферы ок­та­эд­ра равен рас­сто­я­нию от точки O до плос­ко­сти ABC. Най­дем его.

Рас­смот­рим ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть A₁, K, C₁  — се­ре­ди­ны ребер K1L₁, N₁M₁ и NM куба KLMNK₁L₁M₁N₁ со­от­вет­ствен­но. Пусть также A и C  — цен­тры гра­ней K₁L₁M₁N₁ и MNN₁M₁. Тогда AC  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка FA₁C₁, по­это­му По­сколь­ку A₁K₁  =  FN₁  =  C₁N и A₁K₁ па­рал­ле­лен FN₁ и C₁N, точки A₁, K₁, N, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Те­перь можно вы­чис­лить вы­со­ту пи­ра­ми­ды с по­мо­щью объ­е­ма:

На­ко­нец, най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ:

Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Пусть ребро куба равно Тогда рас­сто­я­ние от цен­тра куба, он же центр ок­та­эд­ра, до всех вер­шин ок­та­эд­ра будет равно a.

Пусть O  — центр куба, A, B, C  — цен­тры трех гра­ней куба, яв­ля­ю­щи­е­ся вер­ши­на­ми одной грани ок­та­эд­ра. Тогда ра­ди­ус впи­сан­ной сферы ок­та­эд­ра равен рас­сто­я­нию от точки O до плос­ко­сти ABC. Най­дем его.

Рас­смот­рим ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть A₁, K, C₁  — се­ре­ди­ны ребер K1L₁, N₁M₁ и NM куба KLMNK₁L₁M₁N₁ со­от­вет­ствен­но. Пусть также A и C  — цен­тры гра­ней K₁L₁M₁N₁ и MNN₁M₁. Тогда AC  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка FA₁C₁, по­это­му По­сколь­ку A₁K₁  =  FN₁  =  C₁N и A₁K₁ па­рал­ле­лен FN₁ и C₁N, точки A₁, K₁, N, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Те­перь можно вы­чис­лить вы­со­ту пи­ра­ми­ды с по­мо­щью объ­е­ма:

На­ко­нец, най­дем от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: