Рас­смот­рим для на­ча­ла ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тра­пе­цию ABCD. Она рав­но­бед­рен­ная, по­сколь­ку впи­са­на в окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са, по­это­му углы при ее ос­но­ва­нии равны. При этом Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на ос­но­ва­ние AD. Тогда в тре­уголь­ни­ке ABH по­лу­ча­ем Ана­ло­гич­но и

От­ме­тим се­ре­ди­ну O боль­ше­го ос­но­ва­ния AD. Тогда тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его вы­со­та BH сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Зна­чит, Ана­ло­гич­но По­это­му все вер­ши­ны тра­пе­ции лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром в точке O. Зна­чит, это и есть окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту за h, тогда

Пусть T  — вер­ши­на ко­ну­са. По­сколь­ку про­ек­ци­ей ребра TA на плос­кость слу­жит от­ре­зок OA, это и есть угол на­кло­на ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке TOA по­лу­ча­ем от­ку­да

Ясно, что для осталь­ных ребер тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся та­ки­ми же. По­это­му у всех ребер на­клон оди­на­ко­вый и не­важ­но, какое из них брать.

Ответ:

Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка MM₁. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC1 равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Из тре­уголь­ни­ка C₁M₁O на­хо­дим

по­это­му вы­со­та приз­мы равна

Зна­чит пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Най­дем мак­си­мум этого вы­ра­же­ния. Обо­зна­чая вре­мен­но по­лу­чим под кор­нем что до­сти­га­ет мак­си­му­ма при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). Зна­чит, от­ку­да AB  =  1 и

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ:

Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC₁ равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Кроме того, вер­ти­каль­ное ребро приз­мы имеет длину зна­чит,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OM₁C1 по­лу­ча­ем, что ра­ди­ус шара

Наи­мень­шее зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). При нем же до­сти­га­ет­ся и наи­мень­шее зна­че­ние корня.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ:

Пусть A₁  — се­ре­ди­на ребра ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABC, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок AA₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от A. Пусть далее T  — центр сферы, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из T на SA₁. Тогда, по­сколь­ку AA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, то и вся плос­кость SAA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а TH в ней лежит, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC. Сле­до­ва­тель­но, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBC и также яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сферы.

Пусть ра­ди­ус сферы равен r, тогда Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки STH и SA₁O имеют общий ост­рый угол и по­то­му по­доб­ны, от­ку­да

тогда

С дру­гой сто­ро­ны, AA₁  — вы­со­та ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, то есть пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной по­это­му равна Зна­чит, то есть и

Ответ:

Пусть A₁  — се­ре­ди­на ребра ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABC, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок AA₁ в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от A. Пусть далее T  — центр сферы, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из T на SA₁. Тогда, по­сколь­ку AA1 пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, то и вся плос­кость SAA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а TH в ней лежит, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC. Сле­до­ва­тель­но, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBC и также яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сферы.

Пусть ра­ди­ус сферы равен r, тогда Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки STH и SA₁O имеют общий ост­рый угол и по­то­му по­доб­ны, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь сферы равна

Ответ:

Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер BC и AD ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD со­от­вет­ствен­но, точка O - центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок MN по­по­лам. Пусть далее T  — центр сферы, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из T на SM. Тогда, по­сколь­ку MN пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, то и вся плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а TH в ней лежит, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC. Сле­до­ва­тель­но, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBC и также яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сферы.

Пусть ра­ди­ус сферы равен r, тогда Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки STH и SMO имеют общий ост­рый угол и по­то­му по­доб­ны, от­ку­да

Зна­чит, то есть и пло­щадь ее

Ответ:

Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер BC и AD ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD со­от­вет­ствен­но, рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SMN. В этом се­че­нии по­лу­чит­ся тре­уголь­ник SMN, ко­то­рый будет рав­но­сто­рон­ним, так как SM  — апо­фе­ма грани, а MN пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, от­ку­да по­сколь­ку это и есть угол при ребре ос­но­ва­ния, а се­че­ни­ем сферы ста­нет впи­сан­ная в этот тре­уголь­ник окруж­ность того же ра­ди­у­са, что и сфера.

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка это треть его вы­со­ты, от­ку­да Зна­чит, пло­щадь ее равна

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем впи­сан­но­го ко­ну­са яв­ля­ет­ся впи­сан­ная окруж­ность ос­но­ва­ния, опи­сан­но­го  — опи­сан­ная окруж­ность. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен: Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти ровно в раз боль­ше, по­сколь­ку ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти это по­ло­ви­на сто­ро­ны квад­ра­та, а ра­ди­ус опи­сан­ной  — по­ло­ви­на его диа­го­на­ли и равен 1. Вы­со­та ко­ну­са сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды. по­это­му раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда:

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу Оста­лось найти это от­но­ше­ние.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние боль­шей части к мень­шей равно 4.

Ответ: 4.

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу

Оста­лось найти это от­но­ше­ние. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

При­ме­ним те­перь тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние мень­шей части к боль­шей равно

Ответ:

Пусть точка H  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок AC по­по­лам. Пусть далее точка O  — центр сферы и Тогда:

По­сколь­ку про­ек­ци­ей бо­ко­во­го ребра AS слу­жит AH, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

Пусть точка H  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок AC по­по­лам. Пусть далее O  — центр сферы и Тогда

По­сколь­ку про­ек­ци­ей бо­ко­во­го ребра AS слу­жит AH, ис­ко­мый угол равен

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 2, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 1. Тогда раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 6, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 3. Тогда раз­ность объ­е­мов равна

Ответ:

Пусть H  — центр ос­но­ва­ния ABC пра­виль­ной пи­ра­ми­ды SABC, M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр впи­сан­ной сферы. Для на­ча­ла за­ме­тим, что и по­это­му и Сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция SH на плос­кость бо­ко­вой грани SBC это пря­мая SM и Пусть K  — про­ек­ция T на SM (она же точка ка­са­ния впи­сан­ной сферы с гра­нью SBC). Тогда

Итак, апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна ребро ос­но­ва­ния равно 12 и пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти со­став­ля­ет:

Ответ:

Рас­смот­рим диа­го­наль­ное се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD. Обо­зна­чим за O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, за a  — длину ребра ос­но­ва­ния и за h  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды, тогда ее бо­ко­вое ребро SA будет равно

По усло­вию ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ASC в че­ты­ре раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды, то есть С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да:

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB равна:

Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

а квад­рат этого от­но­ше­ния равен:

Ответ:

Рас­смот­рим диа­го­наль­ное се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD. Обо­зна­чим за O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, за a  — длину ребра ос­но­ва­ния и за h  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды, тогда ее бо­ко­вое ребро SA будет равно

По усло­вию ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ASC в че­ты­ре раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды, то есть С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB равна:

Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

а квад­рат этого от­но­ше­ния равен:

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BEE₁. В нём угол EE₁B равен 30°, зна­чит, BE  =  4 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Объём ци­лин­дра будет равен:

Ответ: