Найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра диа­го­на­ли ромба AC и BD:

Пусть точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда и Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB  — пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ: 36 см².

Найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра диа­го­на­ли ромба AC и BD:

Пусть точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда и Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB  — пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ:

Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что рас­сто­я­ние между про­ти­во­по­лож­ны­ми цен­тра­ми гра­ней равно ребру куба, то есть

Рас­смот­рим те­перь ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть M, K, N  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁, AB и CD со­от­вет­ствен­но. Пусть также O₁ и O  — цен­тры гра­ней A₁B₁BA и ABCD. Тогда OO₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка KMN, по­это­му По­сколь­ку и A₁M па­рал­ле­лен AK и DN, точки A₁, M, N, D яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Зна­чит, по­верх­ность ок­та­эд­ра, со­сто­я­щая из вось­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной имеет пло­щадь

Ответ:

Удоб­но пред­став­лять себе вер­ши­ны пра­виль­но­го ок­та­эд­ра как цен­тры гра­ней куба. Тогда из усло­вия сле­ду­ет, что рас­сто­я­ние между про­ти­во­по­лож­ны­ми цен­тра­ми гра­ней оно равно ребру куба, то есть

Рас­смот­рим те­перь ребро ок­та­эд­ра  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры смеж­ных гра­ней куба. Пусть M, K, N  — се­ре­ди­ны ребер A₁B₁, AB и CD со­от­вет­ствен­но. Пусть также O₁ и O  — цен­тры гра­ней и ABCD. Тогда OO₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка KMN, по­это­му По­сколь­ку и A₁M па­рал­ле­лен AK и DN, точки A₁, M, N, D яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма.

Итак,

Зна­чит, по­верх­ность ок­та­эд­ра, со­сто­я­щая из вось­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков со сто­ро­ной имеет пло­щадь

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 5 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 10 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ: