РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 1206 Добавить в вариант

Решите уравнение $12 синус x минус синус 2x=12 плюс 12 косинус x.$

Спрятать решение

Решение.

Упростим:

$12 синус x минус синус 2x=12 плюс 12 косинус x равносильно 12 левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка минус 2 синус x косинус x=12.$

Пусть $синус x минус косинус x=t,$ тогда:

$левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате =t в квадрате равносильно синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x=t в квадрате равносильно$

$равносильно 1 минус 2 синус x косинус x=t в квадрате равносильно минус 2 синус x косинус x=t в квадрате минус 1.$

Имеем:

$12t плюс t в квадрате минус 1=12 равносильно t в квадрате плюс 12t минус 13=0 равносильно совокупность выражений t= минус 13,t=1. конец совокупности .$

Откуда

$совокупность выражений синус x минус косинус x= минус 13, синус x минус косинус x=1. конец совокупности .$

Заметим, что первое уравнение не имеет решений, решим второе:

$синус x минус косинус x=1 равносильно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно совокупность выражений x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x= Пи плюс 2 Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Приведем другое решение.

Перепишем уравнение в виде

$12 синус x минус 2 синус x косинус x=12 плюс 12 косинус x равносильно 6 левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка =6 плюс синус x косинус x.$

Обозначим $синус x минус косинус x=a,$ $синус x косинус x=b$ и заметим, что

$a в квадрате плюс 2b= левая круглая скобка синус x минус косинус x правая круглая скобка в квадрате плюс 2 синус x косинус x= синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x= синус в квадрате x плюс косинус в квадрате x=1.$

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными

$система выражений 6a=6 плюс b, a в квадрате плюс 2b=1. конец системы .$

Из первого уравнения $b=6a минус 6.$ Подставляя это во второе уравнение, получим

$a в квадрате плюс 12a минус 12=1 равносильно a в квадрате плюс 12a минус 13=0 равносильно совокупность выражений a=1,a= минус 13. конец совокупности .$

Второй вариант невозможен, поскольку

$a= синус x минус косинус x больше или равно минус 1 минус 1= минус 2.$

Итак, $a=1,$ $b=6a минус 6=0,$ откуда $синус x косинус x=0.$ Разберем два случая.

Если $синус x=0,$ то $1=a=0 минус косинус x,$ откуда $косинус x= минус 1,$ поэтому $x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

Если $косинус x=0,$ то $1=a= синус x минус 0,$ откуда $синус x=1,$ поэтому $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ Для обоих наборов выполнены равенства $a= синус x минус косинус x$ и $b= синус x косинус x,$ поэтому они подходят в исходное уравнение.

Аналоги к заданию № 1206: 1216 Все

Спрятать решение · Помощь