Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1225
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби \leqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пред­ста­вим пра­вую часть в виде ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 1, решим не­ра­вен­ство, от­но­си­тель­но ар­гу­мен­тов ло­га­риф­мов:

1 слу­чай:

си­сте­ма вы­ра­же­ний x минус 1 боль­ше 1,0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби мень­ше или равно x минус 1, конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 2, дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 9x плюс 14, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби \leqslant0, дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 2, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 мень­ше или равно x мень­ше 4,x\geqslant7, конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 2 мень­ше x мень­ше 3,x боль­ше 4 конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 мень­ше x мень­ше 3,x\geqslant7. конец со­во­куп­но­сти .

2 слу­чай:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше x минус 1 мень­ше 1, дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби боль­ше или равно x минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 мень­ше x мень­ше 2, дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 9x плюс 14, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби \geqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 мень­ше x мень­ше 2, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x\leqslant2,4 мень­ше x\leqslant7 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 1 мень­ше x мень­ше 2.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 7; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем для на­ча­ла ОДЗ не­ра­вен­ства. Нужно чтобы x минус 1 боль­ше 0 (то есть x боль­ше 1), x минус 1 не равно 1 (то есть x не равно 2) и дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби боль­ше 0, то есть дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше 0, от­ку­да x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 4; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Сов­ме­щая эти усло­вия, по­лу­ча­ем x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 4; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При таких x сде­ла­ем ра­ци­о­на­ли­за­цию. Имеем:

дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6 минус левая круг­лая скоб­ка 2x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 6 минус 2x в квад­ра­те плюс 8x плюс 2x минус 8, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус x в квад­ра­те плюс 9x минус 14, зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 9x плюс 14, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно 0.

Зна­че­ние x=2 не вхо­дит в ОДЗ не­ра­вен­ства. Со­кра­тим на x минус 2, не забыв об этом:

дробь: чис­ли­тель: x минус 7, зна­ме­на­тель: x минус 4 конец дроби боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 7; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Учи­ты­вая также усло­вие x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 4; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим окон­ча­тель­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 7; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1225: 1235 Все

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024