РЕШУ ЦТ

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 1235 Добавить в вариант

Задания на 8 баллов

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2x плюс 2 правая круглая скобка 5x минус 1 левая круглая скобка 10x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение.

Представим правую часть в виде $логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac2x плюс 2 правая круглая скобка 5x минус 11,$ решим неравенство, относительно аргументов логарифмов:

1 случай:

$система выражений дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби больше 1,0 меньше 10x в квадрате плюс x минус 2\leqslant1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3 минус 3x, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби больше 0,10x в квадрате плюс x минус 2 больше 0, 10x в квадрате плюс x минус 3\leqslant0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше 1, минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

2 случай:

$система выражений 0 меньше дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби меньше 1,10x в квадрате плюс x минус 2\geqslant1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби больше 0, дробь: числитель: 3 минус 3x, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби меньше 0, 10x в квадрате плюс x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x меньше минус 1,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , конец системы . совокупность выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,x больше 1, конец совокупности . совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше минус 1,x больше 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Приведем другое решение.

Найдем для начала ОДЗ неравенства. Нужно чтобы $дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби больше 0$ (то есть $x меньше минус 1$ или $x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ ), $дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби не равно 1$ (то есть $2x плюс 2 не равно 5x минус 1,$ $x не равно 1$ ) и

$10x в квадрате плюс x минус 2 больше 0, равносильно левая круглая скобка 5x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби . конец совокупности .$

Совмещая эти условия, получаем $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

При таких x сделаем рационализацию. Имеем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 10x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 10x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 10x в квадрате плюс x минус 2 минус 1, знаменатель: дробь: числитель: 2x плюс 2, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 10x в квадрате плюс x минус 3, знаменатель: дробь: числитель: 3 минус 3x, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: дробь: числитель: 3 минус 3x, знаменатель: 5x минус 1 конец дроби конец дроби меньше или равно 0.$

По ОДЗ $x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,$ не забудем об этом и перекинем знаменатель наверх. Имеем:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 3 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби больше или равно 0.$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

С учетом ограничений ОДЗ ответом будет $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Аналоги к заданию № 1225: 1235 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе