Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1235
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfrac2x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 5x минус 1 левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \leqslant0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пред­ста­вим пра­вую часть в виде  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfrac2x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 5x минус 11, решим не­ра­вен­ство, от­но­си­тель­но ар­гу­мен­тов ло­га­риф­мов:

1 слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби боль­ше 1,0 мень­ше 10x в квад­ра­те плюс x минус 2\leqslant1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3 минус 3x, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби боль­ше 0,10x в квад­ра­те плюс x минус 2 боль­ше 0, 10x в квад­ра­те плюс x минус 3\leqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше x мень­ше 1, минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

2 слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби мень­ше 1,10x в квад­ра­те плюс x минус 2\geqslant1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби боль­ше 0, дробь: чис­ли­тель: 3 минус 3x, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби мень­ше 0, 10x в квад­ра­те плюс x минус 3\geqslant0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 1,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , конец си­сте­мы . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,x боль­ше 1, конец со­во­куп­но­сти . со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 1,x боль­ше 1. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Най­дем для на­ча­ла ОДЗ не­ра­вен­ства. Нужно чтобы  дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби боль­ше 0 (то есть x мень­ше минус 1 или x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ),  дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби не равно 1 (то есть 2x плюс 2 не равно 5x минус 1,  x не равно 1) и

10x в квад­ра­те плюс x минус 2 боль­ше 0, рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 5x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Сов­ме­щая эти усло­вия, по­лу­ча­ем x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При таких x сде­ла­ем ра­ци­о­на­ли­за­цию. Имеем:

 дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 10x в квад­ра­те плюс x минус 2 минус 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 10x в квад­ра­те плюс x минус 3, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3 минус 3x, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3 минус 3x, зна­ме­на­тель: 5x минус 1 конец дроби конец дроби мень­ше или равно 0.

По ОДЗ x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , не за­бу­дем об этом и пе­ре­ки­нем зна­ме­на­тель на­верх. Имеем:

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби боль­ше или равно 0.

Решая это не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­ча­ем x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

С уче­том огра­ни­че­ний ОДЗ от­ве­том будет x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1225: 1235 Все