Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Ре­ши­те не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 7 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4 x в квад­ра­те минус 20 x плюс 25 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Сразу за­ме­тим, что

7 минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те и левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Пусть a = 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Далее, долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 4x в квад­ра­те минус 20x плюс 25 боль­ше 0,x в квад­ра­те минус x минус 2 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка 2x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те боль­ше 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше минус 1,x боль­ше 2. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Итак, ОДЗ урав­не­ния: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; 2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2,5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пре­об­ра­зу­ем те­перь урав­не­ние:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \tfrac1 пра­вая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка \abs2x минус 5 \underseta боль­ше 1\mathop рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус x минус 2 боль­ше или равно \abs2x минус 5.

Раз­бе­рем те­перь два слу­чая.

При x боль­ше 2,5 не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:

x в квад­ра­те минус x минус 2 боль­ше или равно 2x минус 5 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 3x плюс 3 боль­ше или равно 0,

что верно при всех x, по­сколь­ку дис­кри­ми­нант урав­не­ния x в квад­ра­те минус 3x плюс 3 = 0 от­ри­ца­те­лен.

При x мень­ше 2,5 не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид:

x в квад­ра­те минус x минус 2 боль­ше или равно 5 минус 2x рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс x минус 7 боль­ше или равно 0,

что верно при ,x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка или x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­сколь­ку корни урав­не­ния x в квад­ра­те плюс x минус 7 = 0 равны дробь: чис­ли­тель: минус 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус 1 и 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше 2,5. По­это­му учи­ты­вать ОДЗ не по­тре­бу­ет­ся: слу­чай x = 2,5 мы сразу даже раз­би­рать не стали.

Оста­лось вы­брать из пер­во­го слу­чая x боль­ше 2,5, а из вто­ро­го x мень­ше 2,5 и объ­еди­нить по­лу­чен­ные от­ве­ты.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 29 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 2,5 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2,5; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 967: 977 Все

Классификатор алгебры: 5.2. Не­ра­вен­ства пер­вой и вто­рой сте­пе­ни от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ских функ­ций
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024