До­ка­жем, что AC  — общий пер­пен­ди­ку­ляр к дан­ным двум пря­мым:

AC пер­пен­ди­ку­ляр­на AA1, по­сколь­ку AC лежит в плос­ко­сти ABC и плос­кость ABC пер­пен­ди­ку­ляр­на AA₁.

AC пер­пен­ди­ку­ляр­на CB₁, по­сколь­ку AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BCC₁B₁, так как AC пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и AC пер­пен­ди­ку­ляр­на CC₁, и CB₁ лежит в плос­ко­сти BCC₁B₁. Зна­чит,

Тре­уголь­ник B₁BC  — пря­мо­уголь­ный, по­это­му его ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти равен по­ло­ви­не его ги­по­те­ну­зы, от­ку­да Тогда,

На­ко­нец, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ:

До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и B₁C₁ и по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁.

Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку BB1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в плос­ко­сти AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и B₁C1 и по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁.

Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в плос­ко­сти AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

Пусть у приз­мы ABCA₁B₁C₁ AA₁  =  12, AC  =  CB  =  15, AB  =  18. До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и плос­ко­сти B₁C1 и AD  =  BC  =  B₁C₁, по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁. Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AA₁B₁B, а A₁T лежит в AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

Пусть у приз­мы ABCA₁B₁C₁ AA₁  =  24, AC  =  CB  =  25, AB  =  14. До­стро­им рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ACB до ромба ACBD. Тогда AD па­рал­лель­на BC и плос­ко­сти B₁C₁ и AD  =  BC  =  B₁C₁, по­это­му точки A, D, B₁, C₁ яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма и AC₁ па­рал­лель­на DB₁. Зна­чит,

Пусть M  — се­ре­ди­на AB и се­ре­ди­на CD. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр AT на пря­мую MB₁ и до­ка­жем, что это и есть нуж­ное рас­сто­я­ние. В самом деле, AB пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, как диа­го­на­ли ромба, BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку BB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на ABC, зна­чит, CD пер­пен­ди­ку­ляр­на AA₁B₁B, а A₁T лежит в плос­ко­сти AA₁B₁B. Итак, AT пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и AT пер­пен­ди­ку­ляр­на MB₁. Зна­чит,

Ответ:

Найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра диа­го­на­ли ромба AC и BD:

Пусть точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда и Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB  — пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ: 36 см².

Найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра диа­го­на­ли ромба AC и BD:

Пусть точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, тогда и Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB  — пря­мо­уголь­ный, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ: