Всего: 32 1–20 | 21–32
Добавить в вариант
Из данных логарифмических функций выберите функцию, убывающую на области определения:
а) 
б) 
в) 
г) 
Функция вида 
убывает на всей области определения, если 
Как можно заметить, только у функции 
основания логарифма лежит в промежутке от 0 до 1.
Ответ: г.
Найдите промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции 
Возьмем производную данной функции:
Очевидно, что первый множитель положителен, иначе изначальная функция не определена. Исследуем теперь знак выражения 
Отсюда видно, что при 
функция возрастает, при 
убывает, при 
имеет минимум, причем
а при 
вообще не определена.
Ответ: при функция возрастает, при убывает, 
функция возрастает, при убывает, Выберите функции, убывающие на области определения:
а) 
б) 
в) 
г) 
а) Данная функция является возрастающей: с увеличением x, увеличивается y.
б) Данная функция является убывающей: с увеличением x, уменьшается y.
в) Данная функция является возрастающей: с увеличением x, увеличивается y.
г) Данная функция является убывающей: с увеличением x, уменьшается y.
Ответ: бг.
Выберите функции, возрастающие на области определения:
а) 
б) 
в) 
г) 
а) Данная функция является убывающей: с увеличением x, уменьшается y.
б) Данная функция является убывающей: с увеличением x, уменьшается y.
в) Данная функция является возрастающей: с увеличением x, увеличивается y.
г) Данная функция является возрастающей: с увеличением x, увеличивается y.
Ответ: вг.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство 
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При 
получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при 
и отрицательна при 
или 
Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке 
и снова убывает на промежутке 
Точка 
является точкой минимума функции, а точка 
— точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках 
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках 
и 
и выпукла вверх (вогнута) на промежутках 
и 
Точки 
являются точками перегиба, причем:
График функции изображен на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательно при или Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке и снова убывает на промежутке Точка является точкой минимума функции, а точка — точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках и и выпукла вверх (вогнута) на промежутках и Точки 
являются точками перегиба, причем
График изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех 
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При 
получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная больше нуля при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График функции изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при и отрицательна при Значит, функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке 
Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная положительна при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Возьмем её вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательна при 
или при 
Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки 
и 
являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательно при 
или при Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки и 
являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Исследуйте функцию 
на монотонность и экстремумы.
Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, возьмем производную данной функции, определенной при Получим:
Знаменатель всегда положителен, а числитель положителен при условии 
то есть 
и отрицателен при 
Значит, изначальная функция возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
поэтому 
— точка минимума, причём
Ответ: функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
— точка минимума, 
и возрастает на промежутке — точка минимума, Исследуйте функцию 
на монотонность и экстремумы.
Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, возьмем производную данной функции, определенной при Получим:
Знаменатель всегда положителен, а числитель положителен при условии 
то есть 
и отрицателен при 
Значит, изначальная функция возрастает на промежутке
и убывает на промежутке 
поэтому 
— точка минимума, причём
Ответ: функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке
— точка минимума, 
и возрастает на промежутке — точка минимума, Наверх