Пусть AD и BC  — об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра, O и O₁  — цен­тры его ос­но­ва­ний, T  — се­ре­ди­на хорды AC. Тогда OO₁ па­рал­лель­на AD, по­это­му OO₁ па­рал­лель­на ADBC. При этом AB не па­рал­лель­но OO₁  — иначе рас­сто­я­ние между ними было бы равно ра­ди­у­су ци­лин­дра. Зна­чит,

по­сколь­ку OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AC и OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, так как ос­но­ва­ние ци­лин­дра пер­пен­ди­ку­ляр­но об­ра­зу­ю­щей. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

тогда и

Пло­щадь по­верх­но­сти со­став­ля­ет:

Ответ:

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник. Пусть d  — диа­го­наль этого пря­мо­уголь­ни­ка, а b  — одна из сто­рон, рав­ная 2r  =  6 см. Найдём вто­рую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна:

Ответ: в.

Осе­вым се­че­ни­ем ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник. Пусть d  — диа­го­наль этого пря­мо­уголь­ни­ка, а b  — одна из сто­рон, рав­ная 2r  =  8 см. Найдём вто­рую сто­ро­ну пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна:

Ответ: в.

Пло­ща­дью бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра будет яв­лять­ся пло­щадь пря­мо­уголь­ник, ко­то­рую можно найти по фор­му­ле где d₁ и d₂  — диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка, а α  — угол между ними. Имеем:

Ответ:

Пло­ща­дью бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра будет яв­лять­ся пло­щадь пря­мо­уголь­ник, ко­то­рую можно найти по фор­му­ле где d₁ и d₂  — диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка, а α  — угол между ними. Имеем:

Ответ:

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Зна­чит, и тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са за R, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма

Зна­чит, от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 9 : 2.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO1B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Кроме того, тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°, по­это­му диа­метр ос­но­ва­ния равен 12, а ра­ди­ус 6. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма:

Зна­чит от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 2 : 9.

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BEE₁. В нём угол EE₁B равен 30°, зна­чит, BE  =  4 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Объём ци­лин­дра будет равен:

Ответ: