Про­ве­дем вы­со­ту DO и апо­фе­му DM, тогда по усло­вию За­ме­тим, что OO₁  — ось ци­лин­дра, а M₁  — точка ка­са­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и апо­фе­мы. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник DOM рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию OO₁ = 2M₁O₁. Пусть AB = a, тогда:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

При­мем M₁O₁ за x, тогда OO₁ = 2x. Зная, что по­лу­ча­ем, что DO₁ = x, а DO = 3x. Тогда имеем:

Вы­со­та ци­лин­дра и ра­ди­ус ос­но­ва­ния равны со­от­вет­ствен­но и

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние:

Ответ:

Про­ве­дем плос­кость через ось ко­ну­са и боль­шую диа­го­наль ос­но­ва­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. По­лу­ча­ем рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC и впи­сан­ный в него пря­мо­уголь­ник NN₁M₁M, ко­то­рый яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью се­че­ния ше­сти­уголь­ной приз­мы. За­ме­тим, что OC = R (ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са).

Пусть ребро приз­мы равно a, тогда по­лу­ча­ем, что ON = a, MN = M₁N₁ = BN₁ = 2a. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка CNN₁, где по­лу­ча­ем, что:

От­сю­да Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са:

Зная, что пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы равна 6a^2, най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы:

Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние:

Ответ:

Пусть ра­ди­ус пер­во­го ци­лин­дра равен R, тогда ра­ди­ус вто­ро­го равен 2R, и пусть их вы­со­ты равны h. Найдём объёмы V₁ и V₂ этих ци­лин­дров:

По­лу­ча­ем, что объём вто­ро­го ци­лин­дра боль­ше пер­во­го в 4 раза, то есть на 300%.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Так как приз­ма опи­са­на во­круг ци­лин­дра, то она яв­ля­ет­ся пря­мой. По­сколь­ку осе­вым се­че­ни­ем этого ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат, то его вы­со­та равна диа­мет­ру, то есть h  =  2r. Так как пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна про­из­ве­де­нию по­лу­пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния и ра­ди­у­са впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти, то

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы равна По усло­вию S_пр  =  56, зна­чит, тогда Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Так как приз­ма опи­са­на во­круг ци­лин­дра, то она яв­ля­ет­ся пря­мой. По­сколь­ку осе­вым се­че­ни­ем этого ци­лин­дра яв­ля­ет­ся квад­рат, то его вы­со­та равна диа­мет­ру, то есть h  =  2r. Так как ос­но­ва­ния приз­мы равна про­из­ве­де­нию по­лу­пе­ри­мет­ра этого тре­уголь­ни­ка на ра­ди­ус впи­сан­но­го круга, то где P  — пе­ри­метр ос­но­ва­ния приз­мы. Тогда вы­со­та приз­мы равна Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти приз­мы равна:

Так как объем приз­мы равен про­из­ве­де­нию пе­ри­мет­ра ос­но­ва­ния приз­мы на вы­со­ту, то пе­ри­метр равен 42.Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 4, а её вы­со­та  — 8. Най­дем пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

Сто­ро­на осе­во­го се­че­ния равна 4, тогда вы­со­та ци­лин­дра равна 4, а ра­ди­ус равен 2. Ис­поль­зуя фор­му­лу объёма ци­лин­дра по­лу­ча­ем

Ответ: б).

Сто­ро­на осе­во­го се­че­ния равна 6, тогда вы­со­та ци­лин­дра равна 6, а ра­ди­ус равен 3. Ис­поль­зуя фор­му­лу объёма ци­лин­дра по­лу­ча­ем

Ответ: г).

Пусть H  — вы­со­та ци­лин­дра, d  — диа­го­наль осе­во­го се­че­ния, а r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Пусть H  — вы­со­та ци­лин­дра, d  — диа­го­наль осе­во­го се­че­ния, а r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ: 12.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра можно найти по фор­му­ле: За­ме­тим, что диа­метр, вы­со­та и диа­го­наль осе­во­го се­че­ния об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, тогда, так как диа­го­наль осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра об­ра­зу­ет угол 45° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния, то этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен его вы­со­те.

Имеем:

Ответ:

По­сколь­ку пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, умно­жен­но­му на синус угла между ними, по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Для од­но­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет взять плюс, для дру­го­го минус  — они как раз в сумме дают

Най­дем тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов диа­го­на­ли этого па­рал­ле­ло­грам­ма:

Зна­чит, одна из его диа­го­на­лей равна а дру­гая

Все диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми тре­уголь­ни­ков, ка­те­та­ми ко­то­рых будут бо­ко­вое ребро приз­мы и одна из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим длину бо­ко­во­го ребра за x, тогда от­ку­да то есть Ясно, что ис­поль­зо­вать вто­рую диа­го­наль ос­но­ва­ния нель­зя.

Тогда бо­ко­вая по­верх­ность со­сто­ит из че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков общей пло­ща­дью

Ответ: 240.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра можно найти по фор­му­ле: За­ме­тим, что диа­метр, вы­со­та и диа­го­наль осе­во­го се­че­ния об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, тогда, так как диа­го­наль осе­во­го се­че­ния ци­лин­дра об­ра­зу­ет угол 45° с плос­ко­стью ос­но­ва­ния, то этот тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен его вы­со­те.

Имеем:

Ответ:

По­сколь­ку пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, умно­жен­но­му на синус угла между ними, по­лу­ча­ем что от­ку­да

Для од­но­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет взять плюс, для дру­го­го минус  — они как раз в сумме дают

Най­дем тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов диа­го­на­ли этого па­рал­ле­ло­грам­ма:

Все диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми тре­уголь­ни­ков, ка­те­та­ми ко­то­рых будут бо­ко­вое ребро приз­мы и одна из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим длину бо­ко­во­го ребра за x, тогда от­ку­да то есть Ясно, что ис­поль­зо­вать вто­рую диа­го­наль ос­но­ва­ния нель­зя.

Тогда бо­ко­вая по­верх­ность со­сто­ит из че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков общей пло­ща­дью

Ответ: 432.

Если осе­вое се­че­ние  — квад­рат, зна­чит, диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен его вы­со­те, то есть равен 4 см. Тогда, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ: в.

Если осе­вое се­че­ние  — квад­рат, зна­чит, диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен его вы­со­те, то есть равен 2 · 3  =  6 см. Тогда, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ: в.

Ис­поль­зуя со­от­но­ше­ние сто­ро­ны квад­ра­та и его диа­го­на­ли, по­лу­чим: от­ку­да Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна: от­ку­да

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

Ответ: 5 см.

Ис­поль­зуя со­от­но­ше­ние сто­ро­ны квад­ра­та и его диа­го­на­ли, по­лу­чим от­ку­да Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна: от­ку­да

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что

Ответ: 2,5 см.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Наи­боль­шее зна­че­ние вто­рой мно­жи­тель при­ни­ма­ет при и равно оно по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра со­ста­вит:

Ответ:

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Ответ:

Пусть AD и BC  — об­ра­зу­ю­щие ци­лин­дра, O и O₁  — цен­тры его ос­но­ва­ний, T  — се­ре­ди­на хорды AC. Тогда OO₁ па­рал­лель­на AD, по­это­му OO₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти ADBC. При этом AB не па­рал­лель­но OO₁  — иначе рас­сто­я­ние между ними было бы равно ра­ди­у­су ци­лин­дра. Зна­чит,

по­сколь­ку OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AC и OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AD, так как ос­но­ва­ние ци­лин­дра пер­пен­ди­ку­ляр­но об­ра­зу­ю­щей. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

тогда и

Пло­щадь по­верх­но­сти со­став­ля­ет:

Ответ: