Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Зна­чит, и тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са за R, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма

Зна­чит, от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 9 : 2.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO1B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Кроме того, тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°, по­это­му диа­метр ос­но­ва­ния равен 12, а ра­ди­ус 6. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма:

Зна­чит от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 2 : 9.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем будет рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с углом 30° при ос­но­ва­нии. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр A₁T на сто­ро­ну AB. С одной сто­ро­ны, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AA₁T он равен с дру­гой сто­ро­ны, он равен диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B, то есть Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са равна

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

Ответ: 1 : 4.

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са. В нем будет рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с углом 60° при ос­но­ва­нии. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр A₁T на сто­ро­ну AB. С одной сто­ро­ны, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AA₁T он равен с дру­гой сто­ро­ны, он равен диа­мет­ру впи­сан­ной окруж­но­сти че­ты­рех­уголь­ни­ка AA₁B₁B, то есть Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са равна:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

Ответ: 3 : 4.

Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ:

Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды c вер­ши­ной S. Рас­смот­рим все тре­уголь­ни­ки с ка­те­том SO и ги­по­те­ну­зой  — одной из апо­фем гра­ней. Все они равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, по­это­му и вто­рой катет у них оди­на­ко­вый. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах этот вто­рой катет, яв­ля­ю­щий­ся про­ек­ци­ей ги­по­те­ну­зы на плос­кость ос­но­ва­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен со­от­вет­ству­ю­ще­му ребру ос­но­ва­ния, по­это­му точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ос­но­ва­ния. Зна­чит, она яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. По­это­му суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон тра­пе­ции равны, сле­до­ва­тель­но, ее бо­ко­вая сто­ро­на равна

Про­ве­дем в тра­пе­ции ABCD вы­со­ты BH и CK. Тогда

по­это­му

Вы­со­та тра­пе­ции равна диа­мет­ру ее впи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му

Пусть M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр сферы, N  — точка ее ка­са­ния с плос­ко­стью грани SBC, ле­жа­щая, на апо­фе­ме SM. По­сколь­ку точка T лежит на бис­сек­три­се угла SMO и, cле­до­ва­тель­но, делит от­ре­зок SO в от­но­ше­нии

Далее,

На­ко­нец, пло­щадь сферы равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 5 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 10 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABS, у ко­то­ро­го Тогда

Опу­стим вы­со­ту AH на про­дол­же­ние BS. За­ме­тим, что и

При вра­ще­нии от­но­си­тель­но пря­мой BS тре­уголь­ник AHS за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SH и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH, а тре­уголь­ник AHB за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SB и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH. Тело, опи­сан­ное в усло­вии за­да­чи, пред­став­ля­ет собой пер­вый конус, из ко­то­ро­го уда­ли­ли вто­рой. Зна­чит,

Ответ:

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABS, у ко­то­ро­го Тогда

Опу­стим вы­со­ту AH на про­дол­же­ние BS. За­ме­тим, что и

При вра­ще­нии от­но­си­тель­но пря­мой BS тре­уголь­ник AHS за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SH и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH, а тре­уголь­ник AHB за­ме­та­ет конус с вер­ши­ной S, осью SB и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния AH. Тело, опи­сан­ное в усло­вии за­да­чи, пред­став­ля­ет собой пер­вый конус, из ко­то­ро­го уда­ли­ли вто­рой. Зна­чит,

Ответ: