Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 28.

Объём шара равен:

Ответ: б.

Объём шара равен:

Ответ: б.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Ответ:

Рас­смот­рим се­че­ние шара плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы. Это круг, в ко­то­рый впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6. По тео­ре­ме си­ну­сов его ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле:

Пусть O₁  — центр этого круга, O  — центр шара, A  — одна из вер­шин приз­мы. Тогда тре­уголь­ник OO₁A  — пря­мо­уголь­ный и

Итак, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы равно 2, зна­чит, вы­со­та приз­мы равна Тогда объем приз­мы равен:

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BEE₁. В нём угол EE₁B равен 30°, зна­чит, BE  =  4 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Объём ци­лин­дра будет равен:

Ответ:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CFF₁. В нём угол F₁CF равен 30°, зна­чит, FF₁  =  6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Объём ци­лин­дра будет равен:

Ответ: