Так как диа­метр шара в 2 раза боль­ше, то пло­щадь по­верх­но­сти та­ко­го шара в 4 раз боль­ше, а зна­чит, не­об­хо­ди­мо 4 кг крас­ки.

Ответ: б).

Так как шары сде­ла­ны из од­но­го ме­тал­ла, то они имеют рав­ные плот­но­сти. Так как объём пер­во­го шара равен то плот­ность этого ме­тал­ла равна тогда масса вто­ро­го шара равна

Ответ: в).

Ра­ди­ус R шара равен 3 см. Найдём объём шара:

Ответ: г).

Ра­ди­ус R шара равен 1 см. Найдём объём шара:

Ответ: б).

Сто­ро­на осе­во­го се­че­ния равна 4, тогда вы­со­та ци­лин­дра равна 4, а ра­ди­ус равен 2. Ис­поль­зуя фор­му­лу объёма ци­лин­дра по­лу­ча­ем

Ответ: б).

Сто­ро­на осе­во­го се­че­ния равна 6, тогда вы­со­та ци­лин­дра равна 6, а ра­ди­ус равен 3. Ис­поль­зуя фор­му­лу объёма ци­лин­дра по­лу­ча­ем

Ответ: г).

Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, по­это­му

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке HPM:

Най­дем объем шара:

Ответ:

Вы­пи­шем от­но­ше­ние фор­мул объёмов пи­ра­ми­ды и впи­сан­но­го в неё ко­ну­са, если сто­ро­на ос­но­ва­ния в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти

Тогда объём ко­ну­са равен

Ответ: 72.

Вы­пи­шем от­но­ше­ние фор­мул объёмов пи­ра­ми­ды и впи­сан­но­го в неё ко­ну­са, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в раз боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния

Тогда объём ко­ну­са равен

Ответ: 82.

Рас­смот­рим для на­ча­ла ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тра­пе­цию ABCD. Она рав­но­бед­рен­ная, по­сколь­ку впи­са­на в окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са, по­это­му углы при ее ос­но­ва­нии равны. При этом Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на ос­но­ва­ние AD. Тогда в тре­уголь­ни­ке ABH по­лу­ча­ем Ана­ло­гич­но и

От­ме­тим се­ре­ди­ну O боль­ше­го ос­но­ва­ния AD. Тогда тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его вы­со­та BH сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Зна­чит, Ана­ло­гич­но По­это­му все вер­ши­ны тра­пе­ции лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром в точке O. Зна­чит, это и есть окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту за h, тогда

Пусть T  — вер­ши­на ко­ну­са. По­сколь­ку про­ек­ци­ей ребра TA на плос­кость слу­жит от­ре­зок OA, это и есть угол на­кло­на ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке TOA по­лу­ча­ем от­ку­да

Ясно, что для осталь­ных ребер тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся та­ки­ми же. По­это­му у всех ребер на­клон оди­на­ко­вый и не­важ­но, какое из них брать.

Ответ:

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на пря­мую AD и сразу от­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABH и DCK равны по ка­те­ту  — вы­со­те ромба и ги­по­те­ну­зе  — его сто­ро­не. Зна­чит, при их вра­ще­нии во­круг пря­мой AD по­лу­ча­ют­ся ко­ну­сы оди­на­ко­во­го объ­е­ма.

Рас­смот­рим те­перь тело вра­ще­ния, по­лу­ча­е­мое вра­ще­ни­ем ромба во­круг пря­мой AD. Оно со­сто­ит из ко­ну­са  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка ABH и ци­лин­дра  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, из ко­то­ро­го уда­лен такой же конус  — ре­зуль­тат вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка DCK). Зна­чит, объем его равен объ­е­му ци­лин­дра, по­лу­чен­но­го вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, то есть

Сто­ро­на ромба яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в тре­уголь­ни­ке, ка­те­ты ко­то­ро­го  — по­ло­ви­ны его диа­го­на­лей, по­это­му

Пло­щадь ромба равна с одной сто­ро­ны а с дру­гой  — от­ку­да

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на пря­мую AD и сразу от­ме­тим, что пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABH и DCK равны по ка­те­ту  — вы­со­те ромба и ги­по­те­ну­зе  — его сто­ро­не. Зна­чит, при их вра­ще­нии во­круг пря­мой AD по­лу­ча­ют­ся ко­ну­сы оди­на­ко­во­го объ­е­ма.

Рас­смот­рим те­перь тело вра­ще­ния, по­лу­ча­е­мое вра­ще­ни­ем ромба во­круг пря­мой AD. Оно со­сто­ит из ко­ну­са  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка ABH и ци­лин­дра  — ре­зуль­та­та вра­ще­ния пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, из ко­то­ро­го уда­лен такой же конус  — ре­зуль­тат вра­ще­ния тре­уголь­ни­ка DCK. Зна­чит, объем его равен объ­е­му ци­лин­дра, по­лу­чен­но­го вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка BCKH, то есть

Сто­ро­на ромба яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в тре­уголь­ни­ке, ка­те­ты ко­то­ро­го  — по­ло­ви­ны его диа­го­на­лей, по­это­му

Пло­щадь ромба равна с одной сто­ро­ны а с дру­гой  — от­ку­да

Окон­ча­тель­но:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем впи­сан­но­го ко­ну­са яв­ля­ет­ся впи­сан­ная окруж­ность ос­но­ва­ния, опи­сан­но­го  — опи­сан­ная окруж­ность. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен: Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти ровно в раз боль­ше, по­сколь­ку ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти это по­ло­ви­на сто­ро­ны квад­ра­та, а ра­ди­ус опи­сан­ной  — по­ло­ви­на его диа­го­на­ли и равен 1. Вы­со­та ко­ну­са сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды. по­это­му раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Обо­зна­чим за H про­ек­цию вер­ши­ны B на ось вра­ще­ния, а за M  — се­ре­ди­ну AC. Тогда BMCH  — пря­мо­уголь­ник (углы при вер­ши­нах C и H пря­мые по усло­вию, а при M по­то­му что вы­со­та сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной). Зна­чит,

Ука­зан­ное в за­да­че тело пред­став­ля­ет собой усе­чен­ный конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABHC, из ко­то­ро­го уда­лен конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем тре­уголь­ни­ка BHC во­круг той же оси. Зна­чит, объем этого тела равен раз­но­сти объ­е­мов усе­чен­но­го ко­ну­са и про­сто ко­ну­са. Най­дем их.

Усе­чен­ный конус имеет ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний и и вы­со­ту, рав­ную 8, по­это­му его объем равен

Объем ко­ну­са равен:

Окон­ча­тель­но,

Ответ:

Обо­зна­чим за H про­ек­цию вер­ши­ны B на ось вра­ще­ния, а за M  — се­ре­ди­ну AC. Тогда BMCH  — пря­мо­уголь­ник (углы при вер­ши­нах C и H пря­мые по усло­вию, а при M по­то­му что вы­со­та сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной). Зна­чит,

Ука­зан­ное в за­да­че тело пред­став­ля­ет собой усе­чен­ный конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABHC, из ко­то­ро­го уда­лен конус, по­лу­чен­ный вра­ще­ни­ем тре­уголь­ни­ка BHC во­круг той же оси. Зна­чит, объем этого тела равен раз­но­сти объ­е­мов усе­чен­но­го ко­ну­са и про­сто ко­ну­са. Най­дем их.

Усе­чен­ный конус имеет ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний и и вы­со­ту, рав­ную 15, по­это­му его объем равен:

Объем ко­ну­са равен:

Окон­ча­тель­но,

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объем ко­ну­са равен:

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объём ко­ну­са равен:

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 2, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 1. Тогда раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 6, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 3. Тогда раз­ность объ­е­мов равна

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 21.