Рас­смот­рим се­че­ние шара плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы. Это круг, в ко­то­рый впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 3. По тео­ре­ме си­ну­сов его ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле:

Пусть O₁  — центр этого круга, O  — центр шара, A  — одна из вер­шин приз­мы. Тогда тре­уголь­ник OO₁A  — пря­мо­уголь­ный и

Итак, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния приз­мы равно 3, зна­чит, вы­со­та приз­мы равна Тогда объем приз­мы равен:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей:

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны.

Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда:

Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По­лу­ча­ем:

В нашем слу­чае по­это­му:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей:

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны.

Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда

Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По­лу­ча­ем:

В нашем слу­чае по­это­му:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, KDZ па­рал­лель­на CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей.

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

В нашем слу­чае по­это­му окон­ча­тель­ный ответ:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей.

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

В нашем слу­чае по­это­му окон­ча­тель­ный ответ:

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ABCD пи­ра­ми­ды SABCD. Тогда рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BAD и BSD равны по ги­по­те­ну­зе, яв­ля­ю­щей­ся общей, и остро­му углу. Зна­чит, от­ку­да то есть

Далее,

Зна­чит,

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ABCD пи­ра­ми­ды SABCD. Тогда тре­уголь­ни­ки BAD и BSD равны по трём сто­ро­нам. Зна­чит, от­ку­да то есть

Далее,

Зна­чит,

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но, тогда плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на CD, по­сколь­ку SO пер­пен­ди­ку­ляр­на CD и SN пер­пен­ди­ку­ляр­на CD. Опу­стим из O пер­пен­ди­ку­ляр на SN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти MSN и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен CD. По­сколь­ку он еще и пер­пен­ди­ку­ля­рен SN, он будет пер­пен­ди­ку­ля­рен всей плос­ко­сти SCD. Зна­чит, SN  — про­ек­ция SO на грань SCD и по­то­му Зна­чит, и тре­уголь­ник SMN рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°.

Пусть K, E и F  — се­ре­ди­ны от­рез­ков SN, SC и SD со­от­вет­ствен­но. Тогда MK  — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка SMN. Кроме того, MK лежит в плос­ко­сти SMN, по­это­му MK пер­пен­ди­ку­ляр­на CD. Зна­чит, MK пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SCD.

Зна­чит, плос­кость ABK, со­дер­жа­щая ее, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SCD. По­сколь­ку EF па­рал­лель­на CD и AB и K при­над­ле­жит EF, точки E и F лежат в этой же плос­ко­сти и се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды будет тра­пе­ция ABEF.

Обо­зна­чим ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды за 2a, тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна:

и объем пи­ра­ми­ды равен:

Най­дем те­перь объем пи­ра­ми­ды SABEF. За­ме­тим, что SK пер­пен­ди­ку­ляр­на MK и SK пер­пен­ди­ку­ляр­на FE, по­это­му SK  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

Тогда объем вто­рой части пи­ра­ми­ды равен

На­ко­нец, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно

Ответ: 8 : 5.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, M и N  — се­ре­ди­ны ребер DC и BA со­от­вет­ствен­но, тогда плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на BA, по­сколь­ку SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BA и SN пер­пен­ди­ку­ляр­на BA. Опу­стим из O пер­пен­ди­ку­ляр на SN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти MSN и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен BA. По­сколь­ку он еще и пер­пен­ди­ку­ля­рен SN, он будет пер­пен­ди­ку­ля­рен всей плос­ко­сти SBA. Зна­чит, SN  — про­ек­ция SO на грань SBA и по­то­му Зна­чит, и тре­уголь­ник SMN рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°.

Пусть K, E и F  — се­ре­ди­ны от­рез­ков SN, SB и SA со­от­вет­ствен­но. Тогда MK  — ме­ди­а­на и вы­со­та тре­уголь­ни­ка SMN. Кроме того, MK лежит в плос­ко­сти SMN, по­это­му MK пер­пен­ди­ку­ляр­на BA. Зна­чит, MK пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBA.

Зна­чит, плос­кость DCK, со­дер­жа­щая ее, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBA. По­сколь­ку EF па­рал­лель­на BA и DC и точка K при­над­ле­жит EF, точки E и F лежат в этой же плос­ко­сти и се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды будет тра­пе­ция DCEF.

Обо­зна­чим ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды за 2a, тогда вы­со­та пи­ра­ми­ды равна:

и объем пи­ра­ми­ды равен:

Най­дем те­перь объем пи­ра­ми­ды SDCEF. За­ме­тим, что SK пер­пен­ди­ку­ляр­на MK и SK пер­пен­ди­ку­ляр­на FE, по­это­му SK  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Зна­чит,

Тогда объем вто­рой части пи­ра­ми­ды равен:

На­ко­нец, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно:

Ответ: 3 : 5.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле от­ку­да Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SBH. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Про­ведём SS₁  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды SABCD. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и её диа­го­на­ли: Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SS₁B найдём SS₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Итак, объём равен:

Ответ: 384 см².

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле от­ку­да Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SBH. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Про­ведём SS₁  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды SABCD. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и её диа­го­на­ли: Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SS₁B найдём SS₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Итак, объём равен:

Ответ: 400 см².

Про­ведём вы­со­ту SO. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и его диа­го­на­ли, по­лу­чим, что тогда Найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда объём пи­ра­ми­ды будет равен:

Ответ:

Про­ведём вы­со­ту SO. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и его диа­го­на­ли, по­лу­чим, что тогда Найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда объём пи­ра­ми­ды будет равен:

Ответ: