Объем пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле тогда:

Ответ: в.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — вы­со­та ци­лин­дра, тогда ра­ди­у­са ци­лин­дра равен Вы­ра­зим вы­со­ту через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: шар.

Объем пи­ра­ми­ды вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле тогда:

Ответ: б.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­ну­са равны со­от­вет­ствен­но и Вы­ра­зим об­ра­зу­ю­щую через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: конус.

Про­ве­дем вы­со­ту DO и апо­фе­му DM, тогда по усло­вию За­ме­тим, что OO₁  — ось ци­лин­дра, а M₁  — точка ка­са­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и апо­фе­мы. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник DOM рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию OO₁ = 2M₁O₁. Пусть AB = a, тогда:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

При­мем M₁O₁ за x, тогда OO₁ = 2x. Зная, что по­лу­ча­ем, что DO₁ = x, а DO = 3x. Тогда имеем:

Вы­со­та ци­лин­дра и ра­ди­ус ос­но­ва­ния равны со­от­вет­ствен­но и

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, про­дол­же­ние вы­со­ты PH про­хо­дит через центр опи­сан­ной сферы. За­ме­тим, что OC и PO  — ра­ди­у­сы, а PC  — бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды, тогда тре­уголь­ник OPC рав­но­сто­рон­ний, тогда его вы­со­та CH равна Ис­поль­зуя тео­ре­му Пи­фа­го­ра, найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды из тре­уголь­ни­ка PHC:

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, яв­ля­ю­ща­я­ся также ме­ди­а­ной, в пол­то­ра раза боль­ше CH, так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то есть, CH₂ равна Сто­ро­ну ос­но­ва­ния можно найти, ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка:

Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объём пи­ра­ми­ды

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), пусть O  — центр шара. Про­дол­же­ние вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­хо­дит через центр опи­сан­ной сферы. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, тогда его вы­со­ту можно найти по фор­му­ле:

Так как H  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, от­ре­зок CH в пол­то­ра раза мень­ше вы­со­ты, то есть, равен За­ме­тим, что от­ре­зок CH равен ра­ди­у­су шара, тогда точки H и O сов­па­да­ют, а сле­до­ва­тель­но, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна ра­ди­у­су, то есть, Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, равна Найдём объём пи­ра­ми­ды

Ответ:

Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда где a  — ребро пи­ра­ми­ды. Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, зна­чит, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке PHM:

Так как

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Пусть точка O  — про­ек­ция вер­ши­ны M на плос­кость ABCD. Пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек O и M на каж­дое из ребер ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­да­ют в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MOT, где T  — любая из этих точек, тогда угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол MTO. Сле­до­ва­тель­но, все эти пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по об­ще­му ка­те­ту MO и остро­му углу, по­это­му вто­рые их ка­те­ты тоже равны. Итак, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции и по­это­му яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр CH к ос­но­ва­нию AD тра­пе­ции. Тогда BCHA  — пря­мо­уголь­ник, и Обо­зна­чим тогда, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем

По­сколь­ку ABCD  — опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Зна­чит, Решим это урав­не­ние:

По­сколь­ку рас­сто­я­ния от O до ос­но­ва­ний тра­пе­ции равны, они равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть 2.

В тре­уголь­ни­ке MOT те­перь на­хо­дим

Это вы­со­та пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Окон­ча­тель­но, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 9.

Пусть точка O  — про­ек­ция вер­ши­ны T на плос­кость ABCD. Пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек O и T на каж­дое из ребер ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­да­ют в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MOT, где M  — любая из этих точек. тогда угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол Сле­до­ва­тель­но, все эти пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по об­ще­му ка­те­ту TO и остро­му углу, по­это­му вто­рые их ка­те­ты тоже равны. Итак, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции и по­это­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK к ос­но­ва­нию AD тра­пе­ции. Тогда BCKH  — пря­мо­уголь­ник, а по­сколь­ку то

Обо­зна­чим тогда

По­сколь­ку ABCD  — опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Зна­чит, Решим это урав­не­ние. По­лу­чим:

По­сколь­ку рас­сто­я­ния от O до ос­но­ва­ний тра­пе­ции равны, они равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть 1.

В тре­уголь­ни­ке MOT те­перь на­хо­дим

Это вы­со­та пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Окон­ча­тель­но, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 8.

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и AD  =  AB, тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Пусть M и N се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и CC₁ этой приз­мы, тогда DMNC  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку DM  =  CN и DM па­рал­лель­на CN. Зна­чит, MN па­рал­лель­на CD и AB, по­это­му пря­мые AB и MN лежат в одной плос­ко­сти. По­это­му не­важ­но, какая се­ре­ди­на ребра име­ет­ся в виду как про­ти­во­по­лож­но­го к ребру AB. Ука­зан­ная плос­кость, таким об­ра­зом, это плос­кость ABNM.

Опу­стим из точек M и D пер­пен­ди­ку­ля­ры на ребро AB. Они оба упа­дут в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Кроме того, по­сколь­ку и тре­уголь­ник ABD  — рав­но­сто­рон­ний, по­это­му H  — се­ре­ди­на AB и

Из вы­ше­ска­зан­но­го сле­ду­ет, что угол между плос­ко­стя­ми ABCD и ABMN это угол, рав­ный По­это­му в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MHD на­хо­дим и

Пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы равна и объем приз­мы равен

Ответ:

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: б.

Объём приз­мы равен про­из­ве­де­нию пло­ща­ди ос­но­ва­ния на вы­со­ту:

Ответ: в.

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда:

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу Оста­лось найти это от­но­ше­ние.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние боль­шей части к мень­шей равно 4.

Ответ: 4.

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу

Оста­лось найти это от­но­ше­ние. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

При­ме­ним те­перь тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние мень­шей части к боль­шей равно

Ответ:

Пусть P₁  — се­ре­ди­на SB и K₁  — се­ре­ди­на BC. По­сколь­ку PP₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, то PP₁ па­рал­лель­на BC и AD и по­это­му DKP₁P  — па­рал­ле­ло­грамм и, сле­до­ва­тель­но, KP₁ па­рал­лель­на DP. Зна­чит, плос­кость SKP₁, она же SKB,  — одна из двух ука­зан­ных плос­ко­стей.

Далее, PK₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, по­это­му PK₁ па­рал­лель­на SB, а по­сколь­ку еще и DP па­рал­лель­на KP₁, то плос­ко­сти DPK₁ и KP₁B па­рал­лель­ны. Зна­чит, вто­рая из ука­зан­ных плос­ко­стей это DPK₁.

Те­перь вы­чис­лим объ­е­мы пи­ра­ми­ды и ее ча­стей.

Тре­уголь­ни­ки ASC и ADC равны по тре­тье­му при­зна­ку, по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не диа­го­на­ли DB. Зна­чит, объем всей пи­ра­ми­ды равен

Далее:

Зна­чит, объем ин­те­ре­су­ю­щей нас части равен:

Ответ:

Пусть P₁  — се­ре­ди­на SB и K₁  — се­ре­ди­на BC. По­сколь­ку PP₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, то PP₁ па­рал­лель­на BC и AD и по­это­му   — па­рал­ле­ло­грамм и, сле­до­ва­тель­но, KP₁ па­рал­лель­на DP. Зна­чит, плос­кость SKP₁, она же SKB,  — одна из двух ука­зан­ных плос­ко­стей.

Далее, PK₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, по­это­му PK₁ па­рал­лель­на SB, а по­сколь­ку еще и DP па­рал­лель­на KP₁, то плос­ко­сти DPK₁ и KP₁B па­рал­лель­ны. Зна­чит, вто­рая из ука­зан­ных плос­ко­стей это DPK₁.

Те­перь вы­чис­лим объ­е­мы пи­ра­ми­ды и ее ча­стей.

Тре­уголь­ни­ки ASC и ADC равны по тре­тье­му при­зна­ку, по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не диа­го­на­ли DB. Зна­чит, объем всей пи­ра­ми­ды равен:

Далее:

Зна­чит, объем ин­те­ре­су­ю­щей нас части равен:

Ответ:

За­ме­тим, что если «от­со­еди­нить» ABCKLM от на­клон­ной приз­мы ABCC₁B₁A₁ и пе­ре­ста­вить эту часть на­верх, то по­лу­чит­ся пря­мая приз­ма A₁B₁C₁KLM. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы будет равна:

Ответ: 360 см².

За­ме­тим, что если «от­со­еди­нить» ABCKLM от на­клон­ной приз­мы ABCC₁B₁A₁ и пе­ре­ста­вить эту часть на­верх, то по­лу­чит­ся пря­мая приз­ма A₁B₁C₁KLM. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы будет равна:

Ответ: 480 см².