Всего: 30 1–20 | 21–30
Добавить в вариант
Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 
Возьмем производную данной функции:
Это выражение положительно при 
и при 
а отрицательно при 
Поэтому изначальная функция возрастает на 
и на 
и убывает на 
и на 
При 
функция не определена.
Точка 
будет для функции точкой максимума, а точка 
будет для функции точкой минимума (это видно из монотонности функции по разные стороны от данных точек), при этом 
Ответ: функция возрастает на и на и убывает на и на 
и на и убывает на и на Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции 
параллельны прямой 
Найдём производную исходной функции:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, значит, нам нужны точки, в которых выполнено условие 
Решим уравнение:
Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти ординаты точек.
При 
точка касания имеет координаты 
при 
она имеет координаты
Ни одна из этих точек не лежит на прямой 
поэтому касательные будут именно параллельны этой прямой, а совпадать с ней не будут.
Ответ: 
Найдите координаты точек, в которых касательные к графику функции 
параллельны прямой 
Найдём производную исходной функции:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, значит, нам нужны точки, в которых выполнено условие 
Решим уравнение:
Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти ординаты точек.
При точка касания имеет координаты 
при она имеет координаты 
Ни одна из этих точек не лежит на прямой 
поэтому касательные будут именно параллельны этой прямой, а совпадать с ней не будут.
Ответ: 
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство 
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При 
получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при 
и отрицательна при 
или 
Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке 
и снова убывает на промежутке 
Точка является точкой минимума функции, а точка 
— точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках 
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках 
и 
и выпукла вверх (вогнута) на промежутках 
и 
Точки 
являются точками перегиба, причем:
График функции изображен на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x. Поскольку для всех значений переменной справедливо равенство
функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот. Выясним поведение на бесконечности. При получаем:
поэтому ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательно при или Значит, функция убывает на промежутке 
возрастает на промежутке и снова убывает на промежутке Точка является точкой минимума функции, а точка — точкой максимума, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Знаменатель положителен при всех x. Числитель положителен на промежутках
и 
и отрицателен на промежутках 
и 
Следовательно, функция выпукла вниз на промежутках и и выпукла вверх (вогнута) на промежутках и Точки 
являются точками перегиба, причем
График изображён на рисунке.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех 
Точек разрыва нет, но есть вертикальная асимптота при поскольку 
При 
получаем 
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот не будет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Найденная производная положительна при и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке Точка является точкой минимума функции, причем 
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Вторая производная больше нуля при всех допустимых x, значит, функция выпукла вверх.
График функции изображён на рисунке.
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [1; 6].
Возьмем производную данной функции:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
значит, функция 
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наименьшее значение на данном отрезке она принимает в точке 
и равно:
Ответ: 1.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [−5; −1].
Возьмем производную данной функции:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
значит, функция убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наибольшее значение на данном отрезке она принимает в точке 
и равно:
Ответ: −2.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Возьмем её вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательна при 
или при 
Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при а точки и являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Исследуйте функцию 
и постройте ее график.
Функция определена при всех x.
Точек разрыва нет, поэтому нет и вертикальных асимптот.
При получаем:
поэтому горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Возьмем ее производную:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка является точкой максимума функции, причем
Определим промежутки выпуклости и вогнутости. Возьмем вторую производную:
Она положительна при 
и отрицательно при или при Значит, функция выпукла вниз при и выпукла вверх при и при 
а точки и являются точками перегиба, причем
График функции изображён на рисунке.
Примечание.
Масштабы не совпадают, ибо иначе рисунок бы не поместился.
Наверх