Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 2, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 1. Тогда раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 6, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 3. Тогда раз­ность объ­е­мов равна

Ответ:

Пусть P₁  — се­ре­ди­на SB и K₁  — се­ре­ди­на BC. По­сколь­ку PP₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, то PP₁ па­рал­лель­на BC и AD и по­это­му DKP₁P  — па­рал­ле­ло­грамм и, сле­до­ва­тель­но, KP₁ па­рал­лель­на DP. Зна­чит, плос­кость SKP₁, она же SKB,  — одна из двух ука­зан­ных плос­ко­стей.

Далее, PK₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, по­это­му PK₁ па­рал­лель­на SB, а по­сколь­ку еще и DP па­рал­лель­на KP₁, то плос­ко­сти DPK₁ и KP₁B па­рал­лель­ны. Зна­чит, вто­рая из ука­зан­ных плос­ко­стей это DPK₁.

Те­перь вы­чис­лим объ­е­мы пи­ра­ми­ды и ее ча­стей.

Тре­уголь­ни­ки ASC и ADC равны по тре­тье­му при­зна­ку, по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не диа­го­на­ли DB. Зна­чит, объем всей пи­ра­ми­ды равен

Далее:

Зна­чит, объем ин­те­ре­су­ю­щей нас части равен:

Ответ:

Пусть P₁  — се­ре­ди­на SB и K₁  — се­ре­ди­на BC. По­сколь­ку PP₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, то PP₁ па­рал­лель­на BC и AD и по­это­му   — па­рал­ле­ло­грамм и, сле­до­ва­тель­но, KP₁ па­рал­лель­на DP. Зна­чит, плос­кость SKP₁, она же SKB,  — одна из двух ука­зан­ных плос­ко­стей.

Далее, PK₁  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBC, по­это­му PK₁ па­рал­лель­на SB, а по­сколь­ку еще и DP па­рал­лель­на KP₁, то плос­ко­сти DPK₁ и KP₁B па­рал­лель­ны. Зна­чит, вто­рая из ука­зан­ных плос­ко­стей это DPK₁.

Те­перь вы­чис­лим объ­е­мы пи­ра­ми­ды и ее ча­стей.

Тре­уголь­ни­ки ASC и ADC равны по тре­тье­му при­зна­ку, по­это­му вы­со­та пи­ра­ми­ды равна по­ло­ви­не диа­го­на­ли DB. Зна­чит, объем всей пи­ра­ми­ды равен:

Далее:

Зна­чит, объем ин­те­ре­су­ю­щей нас части равен:

Ответ:

Рас­смот­рим диа­го­наль­ное се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD. Обо­зна­чим за O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, за a  — длину ребра ос­но­ва­ния и за h  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды, тогда ее бо­ко­вое ребро SA будет равно

По усло­вию ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ASC в че­ты­ре раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды, то есть С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да:

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB равна:

Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

а квад­рат этого от­но­ше­ния равен:

Ответ:

Рас­смот­рим диа­го­наль­ное се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD. Обо­зна­чим за O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, за a  — длину ребра ос­но­ва­ния и за h  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды, тогда ее бо­ко­вое ребро SA будет равно

По усло­вию ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ASC в че­ты­ре раза боль­ше вы­со­ты пи­ра­ми­ды, то есть С дру­гой сто­ро­ны,

от­ку­да

Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB равна:

Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

а квад­рат этого от­но­ше­ния равен:

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ABCD пи­ра­ми­ды SABCD. Тогда рав­но­бед­рен­ные пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BAD и BSD равны по ги­по­те­ну­зе, яв­ля­ю­щей­ся общей, и остро­му углу. Зна­чит, от­ку­да то есть

Далее,

Зна­чит,

Ответ:

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ABCD пи­ра­ми­ды SABCD. Тогда тре­уголь­ни­ки BAD и BSD равны по трём сто­ро­нам. Зна­чит, от­ку­да то есть

Далее,

Зна­чит,

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле от­ку­да Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SBH. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Про­ведём SS₁  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды SABCD. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и её диа­го­на­ли: Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SS₁B найдём SS₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Итак, объём равен:

Ответ: 384 см².

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды можно найти по фор­му­ле от­ку­да Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник SBH. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Про­ведём SS₁  — вы­со­ту пи­ра­ми­ды SABCD. Из со­от­но­ше­ния сто­ро­ны квад­ра­та и её диа­го­на­ли: Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SS₁B найдём SS₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Итак, объём равен:

Ответ: 400 см².

За­ме­тим, что AC пер­пен­ди­ку­ля­рен BD и AC пер­пен­ди­ку­ля­рен SO, где O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Зна­чит, AC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти BSD. Опу­стим те­перь пер­пен­ди­ку­ляр OT на DN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти BCD и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен к AC. Зна­чит, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

По­сколь­ку все ребра пи­ра­ми­ды равны, тре­уголь­ни­ки BSD и BAD равны по трём сто­ро­нам, сле­до­ва­тель­но, и

Пусть H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки N на пря­мую BD. Тогда NH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBO. Далее,

тогда и

Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно:

Ответ:

За­ме­тим, что AC пер­пен­ди­ку­ля­рен BD и AC пер­пен­ди­ку­ля­рен SO, где O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Зна­чит, AC пер­пен­ди­ку­ля­рен BSD. Опу­стим те­перь пер­пен­ди­ку­ляр OT на DN. Он будет ле­жать в плос­ко­сти BCD и по­то­му будет пер­пен­ди­ку­ля­рен к AC. Зна­чит, его длина и есть нуж­ное рас­сто­я­ние.

По­сколь­ку все ребра пи­ра­ми­ды равны, тре­уголь­ни­ки BSD и BAD равны по тре­тье­му при­зна­ку, сле­до­ва­тель­но, и

Пусть H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки N на пря­мую BD. Тогда NH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBO. Далее,

Зна­чит, ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно:

Ответ: