Все грани этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми. У пра­виль­ной пи­ра­ми­ды центр опи­сан­ной сферы лежит на вы­со­те H = DO₁, где O₁  — центр ос­но­ва­ния. Тогда как ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти. Тогда как ра­ди­ус опи­сан­ной около ос­но­ва­ния окруж­но­сти. Имеем:

Сфера ка­са­ет­ся бо­ко­вой грани пра­виль­ной пи­ра­ми­ды в точке K, ле­жа­щей на апо­фе­ме, тогда OO₁ = OK = r. Апо­фе­ма

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков OKD и AO₁D имеем:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). Вы­со­та приз­мы O₁O₂ равна двум ра­ди­у­сам сферы, то есть По­сколь­ку тре­уголь­ная приз­ма пра­виль­ная, в её ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник. Ра­ди­ус r впи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка равен ра­ди­у­су сферы, то есть Найдём сто­ро­ну AB:

Найдём пло­щадь S пол­ной по­верх­но­сти приз­мы:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). От­ре­зок A₁O  — ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг приз­мы сферы, он равен От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий цен­тры ос­но­ва­ний приз­мы O₁O₂  — вы­со­та приз­мы. От­ре­зок OO₁ равен по­ло­ви­не этой вы­со­ты (ра­ди­ус впи­сан­ной в приз­му сферы). Найдём ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка A₁B₁C₁:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO₁A₁:

Найдём вы­со­ту приз­мы:

Ответ:

Так как диа­метр шара в 2 раза боль­ше, то пло­щадь по­верх­но­сти та­ко­го шара в 4 раз боль­ше, а зна­чит, не­об­хо­ди­мо 4 кг крас­ки.

Ответ: б).

Так как шары сде­ла­ны из од­но­го ме­тал­ла, то они имеют рав­ные плот­но­сти. Так как объём пер­во­го шара равен то плот­ность этого ме­тал­ла равна тогда масса вто­ро­го шара равна

Ответ: в).

Ра­ди­ус R шара равен 3 см. Найдём объём шара:

Ответ: г).

Ра­ди­ус R шара равен 1 см. Найдём объём шара:

Ответ: б).

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, про­дол­же­ние вы­со­ты PH про­хо­дит через центр опи­сан­ной сферы. За­ме­тим, что OC и PO  — ра­ди­у­сы, а PC  — бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды, тогда тре­уголь­ник OPC рав­но­сто­рон­ний, тогда его вы­со­та CH равна Ис­поль­зуя тео­ре­му Пи­фа­го­ра, найдём вы­со­ту пи­ра­ми­ды из тре­уголь­ни­ка PHC:

Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, яв­ля­ю­ща­я­ся также ме­ди­а­ной, в пол­то­ра раза боль­ше CH, так как H  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан, то есть, CH₂ равна Сто­ро­ну ос­но­ва­ния можно найти, ис­поль­зуя фор­му­лу вы­со­ты пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка:

Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна а объём пи­ра­ми­ды

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.), пусть O  — центр шара. Про­дол­же­ние вы­со­ты пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­хо­дит через центр опи­сан­ной сферы. Тре­уголь­ник ABC пра­виль­ный, тогда его вы­со­ту можно найти по фор­му­ле:

Так как H  — центр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, от­ре­зок CH в пол­то­ра раза мень­ше вы­со­ты, то есть, равен За­ме­тим, что от­ре­зок CH равен ра­ди­у­су шара, тогда точки H и O сов­па­да­ют, а сле­до­ва­тель­но, вы­со­та пи­ра­ми­ды равна ра­ди­у­су, то есть, Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, равна Найдём объём пи­ра­ми­ды

Ответ:

Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда

Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, по­это­му

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке HPM:

Най­дем объем шара:

Ответ:

Пусть шар с цен­тром в точке О впи­сан в тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. Тогда от­ре­зок МО  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка PMH. Точка H  — центр тре­уголь­ни­ка ABC, тогда где a  — ребро пи­ра­ми­ды. Апо­фе­ма PM  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка PBC, зна­чит, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке PMH:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой о бис­сек­три­се угла в тре­уголь­ни­ке PHM:

Так как

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Тре­уголь­ник ASB  — рав­но­бед­рен­ный, яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са, SO  — вы­со­та ко­ну­са, OB  — ра­ди­ус его ос­но­ва­ния. Круг с ра­ди­у­сом R и цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ASB в точке K. Тогда имеем: и как ра­ди­ус про­ве­ден­ный к ка­са­тель­ной.

Про­ве­дем Катет KM пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OKM равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Из тре­уголь­ни­ка SOB по­лу­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са: Так как SB об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са в два раза боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния OB, то

Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­ну­са и их от­но­ше­ние:

Ответ: 1 : 1.

Осе­вое се­че­ние за­дан­но­го ко­ну­са  — это рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник AOB, впи­сан­ный в по­лу­окруж­ность с цен­тром O и ра­ди­у­сом R. Так как вы­со­та ко­ну­са OO₁ по усло­вию пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию шара, то ее длина и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са O₁B  =  r, об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са OB  =  L  =  R.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са по фор­му­ле равна а пло­щадь по­верх­но­сти шара по­лу­ча­ем по фор­му­ле

По усло­вию от­сю­да тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO₁B имеем по свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда а зна­чит, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний. Най­дем вы­со­ту OO₁ по фор­му­ле вы­со­ты для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка MM₁. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC1 равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Из тре­уголь­ни­ка C₁M₁O на­хо­дим

по­это­му вы­со­та приз­мы равна

Зна­чит пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти равна

Най­дем мак­си­мум этого вы­ра­же­ния. Обо­зна­чая вре­мен­но по­лу­чим под кор­нем что до­сти­га­ет мак­си­му­ма при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). Зна­чит, от­ку­да AB  =  1 и

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ:

Пусть ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, M и M₁  — цен­тры ее ос­но­ва­ний, O  — се­ре­ди­на от­рез­ка По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки MOA, MOB, ... MOC₁ равны по двум ка­те­там, точка O рав­но­уда­ле­на от всех вер­шин приз­мы и по­то­му яв­ля­ет­ся ее цен­тром опи­сан­но­го шара.

Обо­зна­чим длину ребра ос­но­ва­ния приз­мы за 6x, тогда вы­со­та в ос­но­ва­нии равна а Кроме того, вер­ти­каль­ное ребро приз­мы имеет длину зна­чит,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка OM₁C1 по­лу­ча­ем, что ра­ди­ус шара

Наи­мень­шее зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния до­сти­га­ет­ся при (вер­ши­на па­ра­бо­лы). При нем же до­сти­га­ет­ся и наи­мень­шее зна­че­ние корня.

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой приз­мы равна

Ответ:

Пусть A₁  — се­ре­ди­на ребра ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABC, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок AA₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от A. Пусть далее T  — центр сферы, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из T на SA₁. Тогда, по­сколь­ку AA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, то и вся плос­кость SAA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а TH в ней лежит, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC. Сле­до­ва­тель­но, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBC и также яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сферы.

Пусть ра­ди­ус сферы равен r, тогда Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки STH и SA₁O имеют общий ост­рый угол и по­то­му по­доб­ны, от­ку­да

тогда

С дру­гой сто­ро­ны, AA₁  — вы­со­та ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, то есть пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной по­это­му равна Зна­чит, то есть и

Ответ:

Пусть A₁  — се­ре­ди­на ребра ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABC, точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок AA₁ в от­но­ше­нии 2 : 1 счи­тая от A. Пусть далее T  — центр сферы, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из T на SA₁. Тогда, по­сколь­ку AA1 пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, то и вся плос­кость SAA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а TH в ней лежит, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC. Сле­до­ва­тель­но, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBC и также яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сферы.

Пусть ра­ди­ус сферы равен r, тогда Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки STH и SA₁O имеют общий ост­рый угол и по­то­му по­доб­ны, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь сферы равна

Ответ:

Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер BC и AD ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD со­от­вет­ствен­но, точка O - центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ко­то­рый делит от­ре­зок MN по­по­лам. Пусть далее T  — центр сферы, H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из T на SM. Тогда, по­сколь­ку MN пер­пен­ди­ку­ляр­на BC и SO пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, то и вся плос­кость SMN пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, а TH в ней лежит, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на BC. Сле­до­ва­тель­но, TH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBC и также яв­ля­ет­ся ра­ди­у­сом сферы.

Пусть ра­ди­ус сферы равен r, тогда Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки STH и SMO имеют общий ост­рый угол и по­то­му по­доб­ны, от­ку­да

Зна­чит, то есть и пло­щадь ее

Ответ:

Пусть M и N  — се­ре­ди­ны ребер BC и AD ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD со­от­вет­ствен­но, рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SMN. В этом се­че­нии по­лу­чит­ся тре­уголь­ник SMN, ко­то­рый будет рав­но­сто­рон­ним, так как SM  — апо­фе­ма грани, а MN пер­пен­ди­ку­ляр­на BC, от­ку­да по­сколь­ку это и есть угол при ребре ос­но­ва­ния, а се­че­ни­ем сферы ста­нет впи­сан­ная в этот тре­уголь­ник окруж­ность того же ра­ди­у­са, что и сфера.

Ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка это треть его вы­со­ты, от­ку­да Зна­чит, пло­щадь ее равна

Ответ:

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда:

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу Оста­лось найти это от­но­ше­ние.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние боль­шей части к мень­шей равно 4.

Ответ: 4.