Ос­но­ва­ни­ем впи­сан­но­го ко­ну­са яв­ля­ет­ся впи­сан­ная окруж­ность ос­но­ва­ния, опи­сан­но­го  — опи­сан­ная окруж­ность. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен: Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти ровно в раз боль­ше, по­сколь­ку ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти это по­ло­ви­на сто­ро­ны квад­ра­та, а ра­ди­ус опи­сан­ной  — по­ло­ви­на его диа­го­на­ли и равен 1. Вы­со­та ко­ну­са сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды. по­это­му раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда:

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу Оста­лось найти это от­но­ше­ние.

Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние боль­шей части к мень­шей равно 4.

Ответ: 4.

Обо­зна­чим центр впи­сан­но­го шара за O, ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды за H, се­ре­ди­ну ребра BC за M и точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти OBC с реб­ром AS за Q. Тогда

если опу­стить пер­пен­ди­ку­ля­ры AA₁ и SS₁ на плос­кость BCQ, то пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AA₁Q и SS₁Q будут по­доб­ны по остро­му углу

Оста­лось найти это от­но­ше­ние. Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния тогда бо­ко­вое ребро Далее,

а точка H делит от­ре­зок AM в от­но­ше­нии по­это­му Кроме того,

За­ме­тим, что точка O лежит на бис­сек­три­се угла HMT, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон: впи­сан­ная сфера ка­са­ет­ся апо­фе­мы SM и плос­ко­сти ос­но­ва­ния в точке H, по­это­му

При­ме­ним те­перь тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ASH и пря­мой QOM. По­лу­чим:

Зна­чит, ис­ко­мое от­но­ше­ние мень­шей части к боль­шей равно

Ответ:

Про­ведём вы­со­ту SO пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и апо­фе­му SH пер­пен­ди­ку­ляр­но CB. Про­ек­ция апо­фе­мы OH равна трети вы­со­ты AH тре­уголь­ни­ка ABC, то есть тогда, апо­фе­ма в два раза боль­ше, так как яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH и OH лежит на­про­тив угла 30°. Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ:

Про­ведём вы­со­ту SO пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и апо­фе­му SH пер­пен­ди­ку­ляр­но CB. Про­ек­ция апо­фе­мы OH равна трети вы­со­ты AH тре­уголь­ни­ка ABC, то есть тогда, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, Тогда, пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ: 2 см².

Найдём вы­со­ту приз­мы:

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

Ответ: б.

Пусть H  — центр ос­но­ва­ния ABC пра­виль­ной пи­ра­ми­ды SABC, M  — се­ре­ди­на BC, T  — центр впи­сан­ной сферы. Для на­ча­ла за­ме­тим, что и по­это­му и Сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция SH на плос­кость бо­ко­вой грани SBC это пря­мая SM и Пусть K  — про­ек­ция T на SM (она же точка ка­са­ния впи­сан­ной сферы с гра­нью SBC). Тогда

Итак, апо­фе­ма пи­ра­ми­ды равна ребро ос­но­ва­ния равно 12 и пло­щадь ее бо­ко­вой по­верх­но­сти со­став­ля­ет:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей:

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны.

Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда:

Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По­лу­ча­ем:

В нашем слу­чае по­это­му:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей:

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны.

Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда

Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По­лу­ча­ем:

В нашем слу­чае по­это­му:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, KDZ па­рал­лель­на CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей.

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

В нашем слу­чае по­это­му окон­ча­тель­ный ответ:

Ответ:

Пусть O  — се­ре­ди­на от­рез­ка BK. Тогда PO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BDK, по­это­му PO па­рал­лель­на DK и, сле­до­ва­тель­но, DK па­рал­лель­на плос­ко­сти PCO, по­это­му PCO  — одна из рас­смат­ри­ва­е­мых плос­ко­стей. Пусть пря­мая CO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке T, тогда PCT  — се­че­ние пи­ра­ми­ды дан­ной плос­ко­стью. По тео­ре­ме Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABK и пря­мой TOC по­лу­ча­ем:

Пусть Z  — се­ре­ди­на AT, тогда и тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са пря­мые PT и DZ па­рал­лель­ны. Кроме того PO па­рал­лель­на DK, сле­до­ва­тель­но, плос­кость KDZ па­рал­лель­на плос­ко­сти CPT и KDZ  — вто­рая ин­те­ре­су­ю­щая нас плос­кость.

Вы­чис­лим объ­е­мы ча­стей.

Зна­чит, объем остав­шей­ся между плос­ко­стя­ми части равен:

Оста­лось найти объем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, все ребра ко­то­рой равны. Пусть ребро пи­ра­ми­ды равно a. Тогда Пусть, далее, H  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

В нашем слу­чае по­это­му окон­ча­тель­ный ответ:

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ:

Будем счи­тать, что AD и BC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Более того, будем счи­тать, что AD  — боль­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

По­сколь­ку B₁C₁ па­рал­ле­лен BC и AD, се­че­ние, опи­сан­ное в усло­вии  — тра­пе­ция AB₁C₁D.

Пусть BH и CK  — вы­со­та тра­пе­ции ABCD. Тогда

Ана­ло­гич­но, и тогда

По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен AD, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это BH, а BH пер­пен­ди­ку­ля­рен AD. Тогда

от­ку­да

Далее,

Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию, равен по­ло­ви­не ее вы­со­ты, то есть Эта окруж­ность будет ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра.

Зна­чит,

Ответ: