Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 21.

Пусть O  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са, S  — его вер­ши­на, O₁ и O₂  — точки, через ко­то­рые про­ве­де­ны плос­ко­сти. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой тре­уголь­ник с про­ве­ден­ны­ми двумя от­рез­ка­ми  — диа­мет­ра­ми се­че­ний ко­ну­са двумя плос­ко­стя­ми. Эти се­че­ния пред­став­ля­ют собой круги, а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков в осе­вом се­че­нии сле­ду­ет, что их ра­ди­у­сы про­пор­ци­о­наль­ны чис­лам 1, 2, 3 (3 для из­на­чаль­но­го ко­ну­са).

Рас­смот­рим те­перь три ко­ну­са с вер­ши­ной в S и ос­но­ва­ни­я­ми  — кру­га­ми (два се­че­ния и из­на­чаль­ное ос­но­ва­ние). Пусть ра­ди­ус из­на­чаль­но­го ко­ну­са равен а вы­со­та тогда его объем со­став­ля­ет

Ана­ло­гич­но, объем ма­лень­ко­го ко­ну­са со­став­ля­ет а сред­не­го по­это­му объем сред­ней части равен

Ответ: 28.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 2r и углом 30° при ос­но­ва­нии, зна­чит, угол при вер­ши­не равен По тео­ре­ме си­ну­сов бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, то есть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, равна:

Пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка равна:

от­ку­да

Ра­ди­ус шара, опи­сан­но­го около ко­ну­са, равен ра­ди­у­су круга, опи­сан­но­го около осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са. Най­дем этот ра­ди­ус по из­вест­ной фор­му­ле:

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна:

Ответ:

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 2r и углом 30° при вер­ши­не, зна­чит, угол при ос­но­ва­нии равен По тео­ре­ме си­ну­сов бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, то есть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, равна:

Ра­ди­ус шара, опи­сан­но­го около ко­ну­са, равен ра­ди­у­су круга, опи­сан­но­го около осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са. Най­дем этот ра­ди­ус также по тео­ре­ме си­ну­сов:

от­ку­да

Ясно, что центр шара лежит на оси ко­ну­са, при­чем на от­рез­ке SH, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABS ост­ро­уголь­ный. Зна­чит, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равно:

Ответ:

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра равна:

Наи­боль­шее зна­че­ние вто­рой мно­жи­тель при­ни­ма­ет при и равно оно по­это­му наи­боль­шее зна­че­ние пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра со­ста­вит:

Ответ:

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны. Обо­зна­чим O₁B₁ за x, тогда

Объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Ответ:

От­се­чен­ный конус по­до­бен ис­ход­но­му, зна­чит, их объёмы от­но­сят­ся как куб от­но­ше­ния со­от­вет­ствен­ных ли­ней­ных раз­ме­ров. Объём усе­чен­но­го ко­ну­са равен двум объёмам всего ко­ну­са, зна­чит, ра­ди­у­сы их ос­но­ва­ний от­но­сят­ся как Тогда ис­ко­мый ра­ди­ус се­че­ния равен 6 см.

Если объём усе­чен­но­го ко­ну­са равен двум объёмам всего ко­ну­са, зна­чит, ра­ди­у­сы их ос­но­ва­ний будут от­но­сить­ся как тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са будет равен 6 см.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна сле­до­ва­тель­но, если умень­шить ра­ди­ус и об­ра­зу­ю­щую в 2 раза, то пло­щадь умень­шит­ся в 4 раз.

Ответ: в.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна сле­до­ва­тель­но, если уве­ли­чить ра­ди­ус и об­ра­зу­ю­щую в 3 раза, то пло­щадь уве­ли­чит­ся в 9 раз.

Ответ: б.

Пусть SO  — вы­со­та ко­ну­са, тогда тре­уголь­ник SAB будет яв­лять­ся осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са, где AB  =  2AO. Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOA  — пря­мо­уголь­ный: так как лежит про­тив угла 30°. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна двум пло­ща­дям тре­уголь­ни­ка SOA, то есть:

Ответ: б.

Пусть SO  — вы­со­та ко­ну­са, тогда тре­уголь­ник SAB будет яв­лять­ся осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са, где AB  =  2AO. Рас­смот­рим тре­уголь­ник SOA, ко­то­рый яв­ля­ет­ся од­но­вре­мен­но пря­мо­уголь­ным и рав­но­бед­рен­ным. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Пло­щадь осе­во­го се­че­ния равна двум пло­ща­дям тре­уголь­ни­ка SOA, то есть:

Ответ: г.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO₁B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Зна­чит, и тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са за R, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма

Зна­чит, от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 9 : 2.

Пусть A и B  — диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные точки ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S, A₁ и B₁  — точки пе­ре­се­че­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с об­ра­зу­ю­щи­ми AS и BS со­от­вет­ствен­но, O и O₁  — цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра и се­ре­ди­ны от­рез­ков AB и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Тогда тре­уголь­ни­ки SO1B₁ и SOB по­доб­ны, при­чем Кроме того, тре­уголь­ник ASB рав­но­сто­рон­ний, так как яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным с углом 60°, по­это­му диа­метр ос­но­ва­ния равен 12, а ра­ди­ус 6. Обо­зна­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра за x. Тогда вы­со­та ко­ну­са равна:

ана­ло­гич­но, и вы­со­та ци­лин­дра равна Зна­чит, объем ци­лин­дра равен:

Пер­вый мно­жи­тель  — кон­стан­та, а про­из­вод­ная вто­ро­го равна:

по­это­му по­ло­жи­тель­на при Зна­чит, функ­ция воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при а при при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние при не­от­ри­ца­тель­ных x. Для него по­лу­ча­ем

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра наи­боль­ше­го объ­е­ма:

Зна­чит от­но­ше­ние их равно:

Ответ: 2 : 9.

Найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния, зная пло­щадь: Так как се­че­ние делит вы­со­ту в от­но­ше­нии 2 : 3, то из по­до­бия тре­уголь­ни­ков спра­вед­ли­во от­но­ше­ние:

Итак, пло­щадь се­че­ния равна:

Ответ:

Найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния, зная пло­щадь: Так как се­че­ние делит вы­со­ту в от­но­ше­нии 4 : 5, то из по­до­бия тре­уголь­ни­ков спра­вед­ли­во от­но­ше­ние:

Итак, пло­щадь се­че­ния равна:

Ответ:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOB  — пря­мо­уголь­ный. В нём угол OAS равен 30°, зна­чит, AS  =  6 см. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда, пло­щадь ос­но­ва­ния равна:

Ответ: в.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ASB. В нём вы­со­та равна от­ку­да AB  =  12 см, тогда AO  =   6 см. Тогда пло­щадь ос­но­ва­ния равна:

Ответ: в.

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 5 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ:

Рас­смот­рим плос­кость осе­во­го се­че­ния ко­ну­са. В ней конус отоб­ра­зит­ся тре­уголь­ни­ком, а шар  — опи­сан­ным около него кру­гом ра­ди­у­са 10 см, при­чем рас­сто­я­ние от цен­тра круга до ос­но­ва­ния тре­уголь­ни­ка со­ста­вит по­это­му сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка равна:

кроме того

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние ко­ну­са, про­хо­дя­щее через че­ты­ре вер­ши­ны куба CDEFC₁D₁E₁F₁. Можно счи­тать, что точки A и B тоже лежат в этом се­че­нии. Пусть тогда как диа­го­наль грани куба. Тре­уголь­ни­ки SC₁E₁ и SAB по­доб­ны, по­сколь­ку C₁E₁ па­рал­ле­лен AB. Зна­чит, их вы­со­ты от­но­сят­ся так же, как их ос­но­ва­ния, от­ку­да

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти куба равна:

Ответ: