Осе­вым се­че­ни­ем этого ко­ну­са яв­ля­ет­ся тре­уголь­ник APB, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го равно диа­мет­ру ос­но­ва­ния этого ко­ну­са.

Раз­верт­кой бо­ко­вой по­верх­но­сти этого ко­ну­са яв­ля­ет­ся по­лу­круг с ра­ди­у­сом R  =  AP и дли­ной дуги Так как длина дуги счи­та­ет­ся по фор­му­ле то от­ку­да PA  =  2r, а зна­чит, тре­уголь­ник APB  — рав­но­сто­рон­ний и ис­ко­мый угол равен 60°.

Ответ: 60°.

Тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная, в ко­то­рой BC = 2 см, AD = 8 см. Так как тра­пе­ция опи­са­на около окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, то AB + CD = BC + AD, но AB = CD, тогда

Найдём пло­щадь тра­пе­ции ABCD и ра­ди­ус впи­сан­ной в неё окруж­но­сти. Так как HM = BC и AH = MD, то

Из тре­уголь­ни­ка ABH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим = 4 см. Тогда пло­щадь тра­пе­ции

По фор­му­ле S = p · r найдём ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са

По фор­му­ле объёма ко­ну­са найдём вы­со­ту:

Точка K  — точка ка­са­ния окруж­но­сти, впи­сан­ной в тра­пе­цию ABCD, с бо­ко­вой сто­ро­ны тра­пе­ции. Тогда угол PKO яв­ля­ет­ся углом на­кло­на бо­ко­вой грани ABP к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ник POK пря­мо­уголь­ный, тогда

Так как все бо­ко­вые грани пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к её ос­но­ва­нию, то угол на­кло­на бо­ко­вых гра­ней пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 60°.

Ответ: 60°.

Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD, впи­сан­ную в ос­но­ва­ние ко­ну­са. Так как AB = BC, то по свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка угол BAC равен углу BCA. По­сколь­ку BC || AD, то угол DAC равен углу BCA, то есть угол BAC равен углу CAD, а угол BAD равен 60°, тогда угол CAD = 60° : 2 = 30°.

В тре­уголь­ни­ке CAD угол ACD = 180° − (60° + 30°) = 90°, то есть тре­уголь­ник CAD пря­мо­уголь­ный, его ги­по­те­ну­за AD яв­ля­ет­ся диа­мет­ром окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Так как угол CAD = 30° и CD = 3 см, то AD = 2 · CD = 6 см, то есть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3 см.

По фор­му­ле объёма ко­ну­са найдём вы­со­ту:

Тре­уголь­ник POA пря­мо­уголь­ный, тогда

Так как все бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды рав­но­на­кло­не­ны к её ос­но­ва­нию, то угол на­кло­на бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды к плос­ко­сти ос­но­ва­ния равен 45°.

Ответ: 45°.

Тре­уголь­ник ASB  — рав­но­бед­рен­ный, яв­ля­ет­ся осе­вым се­че­ни­ем ко­ну­са, SO  — вы­со­та ко­ну­са, OB  — ра­ди­ус его ос­но­ва­ния. Круг с ра­ди­у­сом R и цен­тром O ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ASB в точке K. Тогда имеем: и как ра­ди­ус про­ве­ден­ный к ка­са­тель­ной.

Про­ве­дем Катет KM пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OKM равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, зна­чит,

Из тре­уголь­ни­ка SOB по­лу­чим ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са: Так как SB об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са в два раза боль­ше ра­ди­у­са его ос­но­ва­ния OB, то

Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­ну­са и их от­но­ше­ние:

Ответ: 1 : 1.

Осе­вое се­че­ние за­дан­но­го ко­ну­са  — это рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник AOB, впи­сан­ный в по­лу­окруж­ность с цен­тром O и ра­ди­у­сом R. Так как вы­со­та ко­ну­са OO₁ по усло­вию пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию шара, то ее длина и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са O₁B  =  r, об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са OB  =  L  =  R.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са по фор­му­ле равна а пло­щадь по­верх­но­сти шара по­лу­ча­ем по фор­му­ле

По усло­вию от­сю­да тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO₁B имеем по свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда а зна­чит, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний. Най­дем вы­со­ту OO₁ по фор­му­ле вы­со­ты для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

Вы­пи­шем от­но­ше­ние фор­мул объёмов пи­ра­ми­ды и впи­сан­но­го в неё ко­ну­са, если сто­ро­на ос­но­ва­ния в 2 раза боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти

Тогда объём ко­ну­са равен

Ответ: 72.

Вы­пи­шем от­но­ше­ние фор­мул объёмов пи­ра­ми­ды и впи­сан­но­го в неё ко­ну­са, если ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в раз боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния

Тогда объём ко­ну­са равен

Ответ: 82.

Рас­смот­рим для на­ча­ла ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тра­пе­цию ABCD. Она рав­но­бед­рен­ная, по­это­му углы при ее ос­но­ва­нии равны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на ос­но­ва­ние AD. Тогда в тре­уголь­ни­ке ABH по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но,

От­ме­тим се­ре­ди­ну O боль­ше­го ос­но­ва­ния AD. Тогда тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его вы­со­та BH сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Зна­чит, Ана­ло­гич­но, По­это­му все вер­ши­ны тра­пе­ции лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 3 с цен­тром в точке O. Зна­чит, это и есть окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту за h, тогда по усло­вию

от­ку­да

Пусть T  — вер­ши­на ко­ну­са, тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке TOA по­лу­ча­ем от­ку­да По­сколь­ку про­ек­ци­ей ребра TA на плос­кость слу­жит от­ре­зок OA, это и есть угол на­кло­на ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Ясно, что для осталь­ных ребер тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся та­ки­ми же. По­это­му у всех ребер на­клон оди­на­ко­вый.

Ответ: 45°.

Рас­смот­рим для на­ча­ла ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды  — тра­пе­цию ABCD. Она рав­но­бед­рен­ная, по­сколь­ку впи­са­на в окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са, по­это­му углы при ее ос­но­ва­нии равны. При этом Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на ос­но­ва­ние AD. Тогда в тре­уголь­ни­ке ABH по­лу­ча­ем Ана­ло­гич­но и

От­ме­тим се­ре­ди­ну O боль­ше­го ос­но­ва­ния AD. Тогда тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку его вы­со­та BH сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной. Зна­чит, Ана­ло­гич­но По­это­му все вер­ши­ны тра­пе­ции лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са с цен­тром в точке O. Зна­чит, это и есть окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са. Обо­зна­чим его вы­со­ту за h, тогда

Пусть T  — вер­ши­на ко­ну­са. По­сколь­ку про­ек­ци­ей ребра TA на плос­кость слу­жит от­ре­зок OA, это и есть угол на­кло­на ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке TOA по­лу­ча­ем от­ку­да

Ясно, что для осталь­ных ребер тре­уголь­ни­ки по­лу­чат­ся та­ки­ми же. По­это­му у всех ребер на­клон оди­на­ко­вый и не­важ­но, какое из них брать.

Ответ:

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са на­хо­дит­ся по фор­му­ле: Так как его осе­вым се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 4 см, то об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна l  =  4 см, а ра­ди­ус его ос­но­ва­ния r  =  2 см, тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ:

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са на­хо­дит­ся по фор­му­ле: Так как его осе­вым се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник со сто­ро­ной 6 см, то об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна l  =  6 см, а ра­ди­ус его ос­но­ва­ния r  =  3 см, тогда пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти равна:

Ответ:

Ос­но­ва­ни­ем впи­сан­но­го ко­ну­са яв­ля­ет­ся впи­сан­ная окруж­ность ос­но­ва­ния, опи­сан­но­го  — опи­сан­ная окруж­ность. Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен: Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти ровно в раз боль­ше, по­сколь­ку ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти это по­ло­ви­на сто­ро­ны квад­ра­та, а ра­ди­ус опи­сан­ной  — по­ло­ви­на его диа­го­на­ли и равен 1. Вы­со­та ко­ну­са сов­па­да­ет с вы­со­той пи­ра­ми­ды. по­это­му раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Пусть α  — цен­траль­ный угол. Пло­щадь сек­то­ра будет яв­лять­ся пло­ща­дью бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, найдём пло­щадь сек­то­ра:

Ответ:

Пусть α  — цен­траль­ный угол. Пло­щадь сек­то­ра будет яв­лять­ся пло­ща­дью бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра, найдём пло­щадь сек­то­ра:

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна: а пло­щадь ос­но­ва­ния  — Из усло­вия имеем: то есть:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

Таким об­ра­зом, по­лу­чим:

Ответ:

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са равна: а пло­щадь ос­но­ва­ния  — Из усло­вия имеем: то есть:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда

Таким об­ра­зом, по­лу­чим:

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объем ко­ну­са равен:

Ответ:

Обо­зна­чим вер­ши­ну ко­ну­са за S, центр его ос­но­ва­ния за O, концы ука­зан­ной дуги за A и B, се­ре­ди­ну хорды AB за M и ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из O на SM за T.

За­ме­тим, что OM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, так как яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB, и OS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, сле­до­ва­тель­но, и плос­кость MOS пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­это­му OT пер­пен­ди­ку­ляр­на AB.

Зна­чит, OT пер­пен­ди­ку­ляр­но к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AB и MS в плос­ко­сти ABS, по­это­му OT и есть рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния до плос­ко­сти се­че­ния.

Далее, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах SM пер­пен­ди­ку­ляр­на AB, по­сколь­ку его про­ек­ция на плос­кость ос­но­ва­ния это OM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB. Тогда

Тогда:

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, объём ко­ну­са равен:

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 2, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 1. Тогда раз­ность объ­е­мов равна:

Ответ:

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са равен по­это­му сто­ро­на ос­но­ва­ния равна диа­го­наль в раз боль­ше и равна 6, а по­ло­ви­на диа­го­на­ли (она же ра­ди­ус окруж­но­сти ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са) равна 3. Тогда раз­ность объ­е­мов равна

Ответ: