Всего: 126 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
см.
Заметим, что угол BCB1 является линейным углом искомого двугранного угла, тогда 
Из вершины A правильного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр AM. Точка M соединена с точками B и C. Двугранный угол, образованный плоскостями ABC и MBC, равен 60°. Найдите тангенс угла, образованного прямой MB с плоскостью треугольника ABC.
так как треугольник ABC — равносторонний. Гипотенуза прямогульного треугольника MH в два раза больше отрезка AH, так как он лежит против угла 30°. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике MAH найдем больший катет: 
В прямоугольном треугольнике MAB найдём тангенс угла MBA: 
Из вершины A правильного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр AM. Точка M соединена с точками B и C. Тангенс угла, образованного стороной MB с плоскостью треугольника ABC, равен 0,5. Найдите двугранный угол, образованный плоскостями ABC и MBC.
Тогда 
В равностороннем треугольнике ABC проведём высоту AH, которая равняется 
Угол AHM — двугранный угол, образованный плоскостями ABC и MBC, найдём его тангенс: 
см. Сечение отсекает от окружности основания дугу в 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Тогда по теореме Пифагора AB = BC = CD = AD = 4. Угол AOD равен дуге AD равной 60°. Заметим, что треугольник AOD равносторонний (AO = OD — радиусы). Тогда радиус цилиндра равен 4. 
Образующая конуса равна диаметру его основания, площадь боковой поверхности конуса равна 72
см2. Куб вписан в конус так, что одна из граней куба принадлежит основанию конуса, а вершины противолежащей грани принадлежат боковой поверхности конуса. Найдите ребро куба, вписанного в конус.
найдем r:
Пусть MM1 = x, тогда MK = 
x. Имеем:
В прямоугольном треугольнике ACD по условию 
Тогда, по теореме Пифагора 
Образующая конуса наклонена к основанию под углом 60°, площадь полной поверхности конуса равна 
см2. Куб вписан в конус так, что одна из граней куба принадлежит основанию конуса, а вершины противолежащей грани принадлежит боковой поверхности конуса. Найдите ребро куба, вписанного в конус.
найдем r:
и 
как образующие конуса, то треугольник APB — равносторонний, все стороны которого равны 
В треугольнике AOB две стороны — радиусы основания конуса, тогда этот треугольник — прямоугольный и равнобедренный. По теореме Пифагора имеем:
а третий — 60°. Найдите объем пирамиды.
и 
Также проведены высоты PF и PM к сторонам основания и высота пирамиды 
В треугольниках PFB и PMB гипотенуза общая, а углы, прилежащие к ней, равны по условию, тогда эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу, откуда, как соответствующие элементы, 
Так как HB — общая сторона, то треугольники BHF и BHM равны по катету и гипотенузе. Тогда 
и BH — биссектриса 
следовательно, 
тогда имеем:
а третий — 90°. Найдите объем пирамиды.
и 
Также проведены высоты PF и PM к сторонам основания и высота пирамиды 
Аналогично, для треугольников BHC и DHC имеем 
Тогда 
откуда 
и 
см.
и 
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
так как это отношение и есть тангенс двугранного угла при ребре основания пирамиды. Пусть PH = 4x, а HM = 3x, тогда по теореме Пифагора в треугольнике PMH имеем: 
Откуда получаем, что x = 1, то есть PH = 4, а HM = 3. Отрезок AD в два раза больше отрезка HM, значит, что AD = 6, а площадь квадрата ABCD равна 36. Найдём площадь полной поверхности:
Точки M и H — середины ребер B1C1, D1C1 соответственно, а точка P принадлежит ребру DD1, причем D1P : DD 1 = 1 : 3. Найдите периметр сечения куба плоскостью MHP.
Так как диагональ куба равна 
то его сторона равна 2. По теореме Пифагора отрезок 
а отрезки KM и HP равны 
Аналогично отрезки AK и AP равны 
тогда периметр сечения равен:
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
так как это отношение и есть косинус двугранного угла при ребре основания пирамиды. Пусть MH = 12x, а PM = 13x, тогда по теореме Пифагора в тругольнике PMH имеем: 
Откуда получаем, что x = 1, то есть MH = 12, а PM = 13. Отрезок MH в три раза меньше отрезка AM, значит, что AM = 36. Так как высота правильного треугольника считается по формуле 
то сторона этого треугольника равна 
тогда его площадь равна 
Найдём площадь полной поверхности:
Так как диагональ куба равна 
то его сторона равна 3. По теореме Пифагора отрезок 
а отрезки KH и MP равны 
Аналогично отрезки HD и PD равны 
тогда периметр сечения равен:
Треугольник AKB — равнобедренный (AK = BK), тогда 
Воспользуемся теоремой синусов:
и 
тогда 
Так как треугольник ABC равносторонний, то H — центр треугольника, откуда 
По условию высота пирамиды равна 3, тогда:
где 
и h = 3:
Треугольник DKB — равнобедренный, DK = BK, тогда 
Воспользуемся теоремой синусов:
тогда 
Так как ABC квадрат, то H — центр квадрата, откуда 
По условию высота пирамиды равна 5, тогда: 
где r = 5, h = 5:
