PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ:
Упростите выражение 
Решение. Упростим:
Ответ: 
Упростите выражение 
Решение. Упростим:
Ответ: 
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 
Решение. Воспользуемся формулами приведения и решим полученное уравнение:
При k = −1 получаем 
— наибольший отрицательный корень.
Ответ: 
Найдите наименьший положительный корень уравнения 
Решение. Воспользуемся формулами приведения и решим полученное уравнение:
При k = 0 получаем 
— наименьший положительный корень.
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Упростим:
Решите уравнение 
Решение. Упростим:
Решите неравенство 
Решение. Приведем логарифмы к одному основанию и не забудем об ОДЗ:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Приведем логарифмы к одному основанию и не забудем об ОДЗ:
Ответ: 
Упростите выражение 
Решение. Воспользуемся правилом возведения дроби в отрицательню степень и правилами сокрощенного умножения:
Ответ: 
Вычислите: 
Решение. Вычислим, применив свойства логарифмов:
Ответ: 1,5.
Решите уравнение 
Решение. Применим формулу разности синусов:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Применим формулу суммы косинусов:
Ответ: 
Найдите уравнение касательной к графику функции 
параллельной прямой 
Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
Решение. Касательная к заданной функции параллельная графику функции
а значит, их угловые коэффициенты равны. Приравняем правые части данной функции и уравнения касательной с параметром b. Получаем
Касательная пересекает график функции лишь единожды, тогда дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0, а b, соответственно, −1. Прямая, задаваемая функцией 
пересекает оси координат в точках 
и 
следовательно, площадь искомого треугольника равна 
Ответ: 
Найдите уравнение касательной к графику функции 
параллельной прямой 
Найдите площадь треугольника, образованного этой касательной и осями координат.
Решение. Касательная к заданной функции параллельная графику функции 
а значит, их угловые коэффициенты равны. Приравняем правые части данной функции и уравнения касательной с параметром b. Получаем
Касательная пересекает график функции лишь единожды, тогда дискриминант полученного уравнения должен быть равен 0, а b, соответственно, −1. Прямая, задаваемая функцией 
пересекает оси координат в точках 
и следовательно, площадь искомого треугольника равна 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Решим неравенство:
Пусть 
Тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Упростим первое предложение системы:
Аналогично поступим и со вторым, то есть упростим его:
Тогда исходная система равнасильна следующей:
Ответ: {(2; −1)}.
Решите систему уравнений 
Решение. Упростим первое предлжение системы:
Аналогично поступим и со вторым, то есть упростим его:
Тогда исходная система равнасильна следующей:
Ответ: {(3; 2)}.
Решите систему уравнений 
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Пусть 
тогда:
По смыслу задачи 
поэтому, возвращаясь к исходной переменной, имеем:
Подставим полученное значение в уравнение:
Найденным значениям x (0 и 4) соответствуют значения y, равные 4 и 0.
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Пусть 
тогда:
По смыслу задачи 
поэтому, возвращаясь к исходной переменной, имеем:
Подставим полученное значение в уравнение:
Найденным значениям x (0 и 2) соответствуют значения y, равные −2 и 0.
Ответ: 
Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции 
Решение. Вначале найдем область определения функции. Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит,
Теперь найдем 
откуда 
и 
Итак, функция возрастает на промежутке 
и на 
а убывает на промежутке 
и на 
(см. рис).
Ответ: функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на 
Максимум и минимум функции соответственно равны и 
и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки минимума и максимума функции 
Решение. Вначале найдем область определения функции. Знаменатель оборачивается в ноль при 
значит, 
Теперь найдем
откуда 
и 
Итак, функция возрастает на промежутке 
и на 
а убывает на промежутках 
и на 
(см. изображение).
Ответ: Функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на 
Максимум и минимум функции соответственно равны и
и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и Решите неравенство 
Решение. При учёте того, что x < 0, так как −x является аргументом логарифма, воспользуемся свойством логарифмов 
Получаем
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. При учёте того, что x < 0, так как −x является аргументом логарифма, воспользуемся свойством логарифмов Получаем
Ответ: 
Найдите значение выражения 
где 
и 
— корни уравнения 
Решение. Так как корнями уравнени 
являются числа x1 и x2, то по теореме Виета имеем:
Вычтем из первого уравнения системы второе и получим:
Ответ: 
Найдите значение выражения где и — корни уравнения 
Решение. Так как корнями уравнени 
являются числа x1 и x2, то по теореме Виета имеем:
Вычтем из первого уравнения системы второе и получим:
Ответ: 
Найдите количество корней уравнения 
на промежутке 
Решение. Домножим на тригонометрическую единицу:
Заметим, что при домножении на 
корни не потеряны.
Из графика видно, что на промежутке 
исходное уравнение имеет 5 корней.
Ответ: 5.
Найдите количество корней уравнения 
на промежутке 
Решение. Домножим на тригонометрическую единицу:
Заметим, что при домножении на корни не потеряны.
Из графика видно, что на промежутке 
исходное уравнение имеет 5 корней.
Ответ: 5.
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
тогда имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Пусть 
тогда имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: [1; 2).
Решите систему уравнений 
Решение. Упростим и решим два уравнения системы по отдельности:
Решим первое уравнение системы, используя второе:
Пусть 
тогда:
Вернемся к исходным переменным и получим:
Подставим значение найденной неизвестной во второе уравнение системы:
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Упростим и решим два уравнения системы по отдельности:
Решим первое уравнение системы, используя второе:
Пусть 
тогда:
Вернемся к исходным переменным и получим:
Подставим значение найденной неизвестной во второе уравнение системы:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Данная функция определена, тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство, применяя метод интервалов:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Данная функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно, решим соответствующее неравенство:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Заметим, что 
тогда введем замену. Пусть 
причем t не меньше 0, имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: {−7; 2}.
Решите уравнение 
Решение. Заметим, что 
тогда введем замену. Пусть 
причем t не меньше 0, имеем:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: {−3; 8}.
Найдите, под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная, проведенная к графику функции 
в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Найдем f'(x) = 6x2 − 1. График функции пересекает ось ординат в точке с абсциссой, где x0 = 0. При x = 0 получаем, что f'(0) = −1. Тогда 
Ответ: 
Найдите, под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная, проведенная к графику функции 
в точке его пересечения с осью ординат.
Решение. Найдем f'(x) = 6x2 + 1. График функции пересекает ось ординат в точке с абсциссой, где x0 = 0. При x = 0 получаем, что f'(0) = −1. Тогда: 
Ответ: 
Постройте график функции 
Решение. Упростим выражение:
Построим график:
Ответ: см. рис.
Постройте график функции 
Решение. Упростим выражение:
Построим график:
Ответ: см. рис.
Найдите значение выражения 
Решение. Так как 
то
Ответ: 
Найдите значение выражения 
Решение. Так как 
то
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Пусть 
где t>0, тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Упростим:
Пусть 
где t>0, тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите нули функции 
Решение. Решим соответствующее уравнение:
Заметим также, что тангенс существует при 
Таким образом, нулям функции будут только числа 
Ответ: 
Найдите нули функции 
Решение. Решим соответствующее уравнение:
Заметим также, что котангенс существует при 
Таким образом, нулям функции будут только числа 
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Заметим, что подкоренное выражение правой части неотрицательно при всех x, значит, и равное ему подкоренное выражение левой части неотрицательно. Тогда можно опустить соответствующие условия. Решим уравнение:
Ответ: {−8; 4}.
Решите уравнение 
Решение. Заметим, что подкоренное выражение правой части неотрицательно при всех x, значит, и равное ему подкоренное выражение левой части неотрицательно. Тогда можно опустить соответствующие условия. Решим уравнение:
Ответ: {−8; 14}.
Упростите выражение 
Решение. Упростим:
Ответ: 
Упростите выражение 
Решение. Упростим:
Ответ: 1.
Решите систему уравнений 
Решение. Приведем к общем основанию:
Ответ: {(22; − 3)}
Решите систему уравнений 
Решение. Приведем к общем основанию:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Решим уравнение:
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения этой функции задаётся системой соотношений:
Итак, числа 
и 
не меньше нуля при 
Значит, областью определения функции являются все действительные числа не меньшие нуля, кроме чисел вида 
Ответ: 
Найдите область определения функции 
Решение. Область определения этой функции задаётся системой соотношений:
Итак, числа 
и 
не меньше нуля при 
Значит, областью определения функции являются все действительные числа не меньшие нуля, кроме чисел вида 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Разложим на множители:
Применим метод интервалов.
Находим, что неравенство верно при 
или при 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Разложим на множители:
Применим метод интервалов.
Находим, что неравенство верно при: 
или при 
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Возведём в квадрат обе части, рассмотрев отдельно случай отрицательной правой части:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Возведём в квадрат обе части, и тождественно преобразуем, при учёте того, что правая часть должна быть неотрицательна:
Решим уравнение, соответствующее последнему предложению системы, а затем нанесём полученные корни на ось, чтобы решить неравенство методом интервалов:
Как видно, уравнение не имеет решений в действительных числах, тогда соответствующее неравенство будет истинно при всех значениях x. Итак, ответом будут являться все значения x из области допустимых значений.
Ответ: 
Найдите точки минимума и точки максимума функции 
Решение. Зададим область определения функции: 
Найдем
Решим уравнение 
Применим метод интервалов (см. рис.).
Таким образом, получаем, что 
Ответ:
Найдите точки минимума и точки максимума функции 
Решение. Зададим область определения функции: 
Найдем
Решим уравнение
Применим метод интервалов (см. рис.).
Таким образом, получаем, что 
Ответ:
Решите неравенство 
Решение. Заметим, что знаменатель дроби неотрицателен, тогда решение неравенства сводится к неравенству относительно числителя с учетом ОДЗ:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Заметим, что знаменатель дроби неотрицателен, тогда решение неравенства сводится к неравенству относительно числителя с учетом ОДЗ:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Представим двойное неравенство в виде системы, увелим обе части каждого предложения на 5 и преобразуем
Решениями уравнений, соответствующих неравенствам, являются числа 
−1 и 3. Используя метод интервалов, получаем ответ
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Представим двойное неравенство в виде системы, увелим обе части каждого предложения на 5 и преобразуем
Решениями уравнений, соответствующих неравенствам, являются числа 
−1 и 7. Используя метод интервалов, получаем ответ
Ответ: 
Постройте график функции 
Решение. При 
функция имеет вид:
При 
функция имеет вид:
График функции 
отличается от графика 
сжатием вдвое к оси ординат. От этого графика берем только левую половину и дополняем ее лучом, совпадающим с положительным лучом оси абсцисс. Построим график искомой функции:
Координаты точек максимумов и минимумов будут: 
и 
Постройте график функции 
Решение. При функция имеет вид:
При функция имеет вид:
График функции 
отличается от графика растяжением вдвое от оси ординат. От этого графика берем только левую половину и дополняем ее лучом, совпадающим с положительным лучом оси абсцисс. Построим график искомой функции:
Координаты точек максимумов и минимумов будут 
и 
Основанием пирамиды MABCD является трапеция ABCD с прямым углом A и основаниями BC = 3 см и AD = 6 см. Все боковые грани пирамиды образуют с основанием острый угол, синус которого равен 0,6. Найдите объем пирамиды.
Решение. Пусть точка O — проекция вершины M на плоскость ABCD. Перпендикуляры из точек O и M на каждое из ребер основания пирамиды падают в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. Рассмотрим треугольник MOT, где T — любая из этих точек, тогда угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания это угол MTO. Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по общему катету MO и острому углу, поэтому вторые их катеты тоже равны. Итак, точка O равноудалена от всех сторон трапеции и поэтому является центром вписанной в неё окружности.
Проведем перпендикуляр CH к основанию AD трапеции. Тогда BCHA — прямоугольник, 
и 
Обозначим 
тогда, по теореме Пифагора для треугольника CHD получаем 
Поскольку ABCD — описанный четырехугольник, суммы его противоположных сторон равны. Значит, 
Решим это уравнение:
Поскольку расстояния от O до оснований трапеции равны, они равны половине высоты трапеции, то есть 2.
В треугольнике MOT теперь находим
и 
Это высота пирамиды. Площадь основания пирамиды равна
Окончательно, объем пирамиды равен 
Ответ: 9.
Основанием четырехугольной пирамиды TABCD является равнобедренная трапеция, 
Решение. Пусть точка O — проекция вершины T на плоскость ABCD. Перпендикуляры из точек O и T на каждое из ребер основания пирамиды падают в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. Рассмотрим треугольник MOT, где M — любая из этих точек. тогда угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания это угол 
Следовательно, все эти прямоугольные треугольники равны по общему катету TO и острому углу, поэтому вторые их катеты тоже равны. Итак, точка O равноудалена от всех сторон трапеции и поэтому является ее центром вписанной окружности.
Проведем перпендикуляры BH и CK к основанию AD трапеции. Тогда BCKH — прямоугольник, а поскольку 
то
Обозначим 
тогда
Поскольку ABCD — описанный четырехугольник, суммы его противоположных сторон равны. Значит, 
Решим это уравнение. Получим: 
Поскольку расстояния от O до оснований трапеции равны, они равны половине высоты трапеции, то есть 1.
В треугольнике MOT теперь находим
Это высота пирамиды. Площадь основания пирамиды равна
Окончательно, объем пирамиды равен 
Ответ: 8.
Основание прямой призмы — ромб с тупым углом 120°, длина стороны которого равна 
Найдите объем призмы, если ее сечение, проходящее через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, наклонено к плоскости основания под углом 45°.
Решение. Пусть M и N середины боковых ребер DD1 и CC1 этой призмы, тогда DMNC — параллелограмм, поскольку DM = CN и DM параллельна CN. Значит, MN параллельна CD и AB, поэтому прямые AB и MN лежат в одной плоскости. Поэтому неважно, какая середина ребра имеется в виду как противоположного к ребру AB. Указанная плоскость, таким образом, это плоскость ABNM.
Опустим из точек M и D перпендикуляры на ребро AB. Они оба упадут в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. Кроме того, поскольку 
и AD = AB, треугольник ABD — равносторонний, поэтому H — середина AB и 
Из вышесказанного следует, что угол между плоскостями ABCD и ABMN это угол, равный 
Поэтому в прямоугольном треугольнике MHD находим 
и 
Площадь основания призмы равна 
и объем призмы равен 
Ответ: 
Основание прямой призмы — ромб с острым углом 60°, длина стороны которого равна 2 см. Найдите объем призмы, если ее сечение, проходящее через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, наклонено к плоскости основания под углом 30°.
Решение. Пусть M и N середины боковых ребер DD1 и CC1 этой призмы, тогда DMNC — параллелограмм, поскольку DM = CN и DM параллельна CN. Значит, MN параллельна CD и AB, поэтому прямые AB и MN лежат в одной плоскости. Поэтому неважно, какая середина ребра имеется в виду как противоположного к ребру AB. Указанная плоскость, таким образом, это плоскость ABNM.
Опустим из точек M и D перпендикуляры на ребро AB. Они оба упадут в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. Кроме того, поскольку 
и 
треугольник ABD — равносторонний, поэтому H — середина AB и 
Из вышесказанного следует, что угол между плоскостями ABCD и ABMN это угол, равный Поэтому в прямоугольном треугольнике MHD находим 
и 
Площадь основания призмы равна 
и объем призмы равен 
Ответ: 
Решите уравнение 
если 
Решение. Найдем производную искомой функции:
Получаем уравнение 
откуда
Ответ: 
Решите уравнение 
если 
Решение. Найдём производную искомой функции:
Получаем уравнение 
откуда
Ответ:
Решите систему уравнений 
Решение. Последовательными преобразованиями получаем:
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Последовательными преобразованиями получаем:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Перепишем уравнение в виде:
и разложим его левую часть на множители методом группировки:
Если первый множитель равен нулю, то
не входит в ОДЗ уравнения, так как при нём не определен 
Поэтому годится только 
Если второй множитель равен нулю, то 
Очевидно, что при отрицательных x правая часть не определена, при положительных левая часть отрицательна, а правая положительна, а при 
уравнение выполняется.
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Перепишем уравнение в виде:
Разложим его левую часть на множители методом группировки:
Если первый множитель равен нулю, то 
Заметим, что 
не входит в ОДЗ уравнения, так как при нём не определен Поэтому годится только 
Если второй множитель равен нулю, то 
Очевидно, что при отрицательных x правая часть не определена, при положительных левая часть отрицательна, а правая положительна, а при уравнение выполняется.
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Ясно, что при 
неравенство обращается в равенство, а при 
неопределено. Если же 
то множитель 
определен, положителен и не влияет на знак, поэтому его можно не учитывать. Имеем:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Ясно, что при 
неравенство обращается в равенство, а при 
неопределено. Если же 
то множитель 
определен, положителен и не влияет на знак, поэтому его можно не учитывать. Имеем:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Ясно, что 
Тогда запишем 
в виде 
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Ясно, что Тогда запишем 
в виде 
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Найдите в градусах наибольший отрицательный корень уравнения 
Решение. Разделим уравнение на 2 и запишем его в виде:
Ясно, что k нужно выбирать отрицательным (нам нужно отрицательное x), при 
оба ответа уже получатся отрицательными, при меньших k они точно будут меньше (нам нужно наибольшее из отрицательных). Значит, наш выбор состоит из двух вариантов: 
и 
Ясно, что второе число больше.
Наконец, переведем его в градусы, получим 
Ответ: −825°.
Найдите в градусах наименьший положительный корень уравнения 
Решение. Разделим уравнение на 2 и запишем его в виде:
Ясно, что нам нужно взять k = 0, так как нам нужен наименьший положительный корень x, значит, наш выбор состоит из двух вариантов: 
и 
Ясно, что второе число больше.
Наконец, переведем его в градусы, получим 
Ответ: 90°.
Равнобедренный треугольник ABC вращается вокруг оси, проходящей через вершину C и перпендикулярной основанию AC. Найдите объем тела вращения, учитывая, что 
Решение. Обозначим за H проекцию вершины B на ось вращения, а за M — середину AC. Тогда BMCH — прямоугольник (углы при вершинах C и H прямые по условию, а при M потому что высота совпадает с медианой). Значит,
Указанное в задаче тело представляет собой усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABHC, из которого удален конус, полученный вращением треугольника BHC вокруг той же оси. Значит, объем этого тела равен разности объемов усеченного конуса и просто конуса. Найдем их.
Усеченный конус имеет радиусы оснований 
и 
и высоту, равную 8, поэтому его объем равен
Объем конуса равен:
Окончательно, 
Ответ: 
Равнобедренный треугольник ABC вращается вокруг оси, проходящей через вершину C и перпендикулярной основанию AC. Найдите объем тела вращения, учитывая, что 
Решение. Обозначим за H проекцию вершины B на ось вращения, а за M — середину AC. Тогда BMCH — прямоугольник (углы при вершинах C и H прямые по условию, а при M потому что высота совпадает с медианой). Значит,
Указанное в задаче тело представляет собой усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABHC, из которого удален конус, полученный вращением треугольника BHC вокруг той же оси. Значит, объем этого тела равен разности объемов усеченного конуса и просто конуса. Найдем их.
Усеченный конус имеет радиусы оснований 
и 
и высоту, равную 15, поэтому его объем равен:
Объем конуса равен:
Окончательно, 
Ответ: 
Найдите все значения аргумента, при которых производная функции равна 4.
Решение. По формуле синуса суммы данную функцию можно преобразовать к виду
поэтому ее производная равна:
Решим теперь уравнение:
Ответ: 
Найдите все значения аргумента, при которых производная функции
равна 2.
Решение. По формуле синуса разности данную функцию можно преобразовать к виду:
поэтому ее производная равна:
Решим теперь уравнение:
Ответ: 
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, приравняем ординаты:
Пусть 
тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: {
}.
Приведем другое решение.
Решим уравнение 
Возведем его в квадрат при условии 
(оно обеспечивает неотрицательность второго подкоренного выражения, а первое будет ему равно и потому тоже неотрицательно). Имеем:
Обозначая временно получим 
откуда 
или 
(посторонний корень, поскольку больше 
).
Итак,
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций 
и 
Решение. Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, приравняем ординаты:
Пусть 
тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Решим уравнение 
Возведем его в квадрат при условии 
(оно обеспечивает неотрицательность второго подкоренного выражения. а первое будет ему равно и потому тоже неотрицательно). Имеем:
получим откуда или (посторонний корень, поскольку больше ).Итак,
Решите уравнение 
Решение. Преобразуем уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Преобразуем уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Для начала отметим, что
В таком случае обе части неравенства неотрицательны и можно возвести его в квадрат:
Это верно при всех значениях переменной, поскольку дискриминант уравнения 
отрицателен.
Ответ: 
Через вершину конуса под углом 60° к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90. Найдите объем конуса, если расстояние от центра основания до плоскости сечения равно 6 см.
Решение. Обозначим вершину конуса за S, центр его основания за O, концы указанной дуги за A и B, середину хорды AB за M и основание перпендикуляра, опущенного из O на SM за T.
Заметим, что OM перпендикулярна AB, так как является медианой равнобедренного треугольника AOB, и OS перпендикулярна AB, следовательно, и плоскость MOS перпендикулярна AB, поэтому OT перпендикулярна AB.
Значит, OT перпендикулярно к двум пересекающимся прямым AB и MS в плоскости ABS, поэтому OT и есть расстояние от центра основания до плоскости сечения.
Далее, по теореме о трех перпендикулярах SM перпендикулярна AB, поскольку его проекция на плоскость основания это OM, перпендикулярная AB. Тогда
Тогда:
откуда
Следовательно, объем конуса равен:
Ответ: 
Через вершину конуса под углом 30° к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Найдите объем конуса, если расстояние от центра основания до плоскости сечения 
см.
Решение. Обозначим вершину конуса за S, центр его основания за O, концы указанной дуги за A и B, середину хорды AB за M и основание перпендикуляра, опущенного из O на SM за T.
Заметим, что OM перпендикулярна AB, так как является медианой равнобедренного треугольника AOB, и OS перпендикулярна AB, следовательно, и плоскость MOS перпендикулярна AB, поэтому OT перпендикулярна AB.
Значит, OT перпендикулярно к двум пересекающимся прямым AB и MS в плоскости ABS, поэтому OT и есть расстояние от центра основания до плоскости сечения.
Далее, по теореме о трех перпендикулярах SM перпендикулярна AB, поскольку его проекция на плоскость основания это OM, перпендикулярная AB. Тогда
Тогда:
откуда
Следовательно, объём конуса равен:
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Вычитая из верхнего уравнения нижнее, получим 
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Тогда первое уравнение сводится к
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Решение. Вычитая из верхнего уравнения нижнее, получим 
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Тогда первое уравнение сводится к
Ответ: 
Объем конуса равен 81 см3. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объем средней отсеченной части.
Решение. Пусть O — центр основания конуса, S — его вершина, O1 и O2 — точки, через которые проведены плоскости. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с проведенными двумя отрезками — диаметрами сечений конуса двумя плоскостями. Эти сечения представляют собой круги, а из подобия треугольников в осевом сечении следует, что их радиусы пропорциональны числам 1, 2, 3 (3 для изначального конуса).
Рассмотрим теперь три конуса с вершиной в S и основаниями — кругами (два сечения и изначальное основание). Пусть радиус изначального конуса равен 
а высота 
тогда его объем составляет
Аналогично, объем маленького конуса составляет 
а среднего 
поэтому объем средней части равен
Ответ: 21.
Объем конуса равен 108 см3. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Найдите объем средней отсеченной части.
Решение. Пусть O — центр основания конуса, S — его вершина, O1 и O2 — точки, через которые проведены плоскости. Осевое сечение конуса представляет собой треугольник с проведенными двумя отрезками — диаметрами сечений конуса двумя плоскостями. Эти сечения представляют собой круги, а из подобия треугольников в осевом сечении следует, что их радиусы пропорциональны числам 1, 2, 3 (3 для изначального конуса).
Рассмотрим теперь три конуса с вершиной в S и основаниями — кругами (два сечения и изначальное основание). Пусть радиус изначального конуса равен а высота тогда его объем составляет
Аналогично, объем маленького конуса составляет а среднего поэтому объем средней части равен
Ответ: 28.
Решите систему уравнений 
Решение. Второе уравнение системы можно записать в виде:
Выразим 
и подставим в первое уравнение:
Пусть 
тогда:
Вернёмся к исходной переменной:
Ответ: 
Решите систему уравнений
Решение. Упростим и решим два уравнения системы по отдельности:
Решим первое уравнение системы, используя второе:
Пусть тогда:
Вернемся к исходным переменным и получим:
Подставим значение найденной неизвестной во второе уравнение системы:
Ответ:
Решите уравнение 
Решение. Подберем сначала целый корень данного уравнения среди делителей числа −8, являющимся свободным членом. Заметим, что 
подходит, поэтому у многочлена есть множитель 
Разложим многочлен на множители:
Второй множитель можно разложить на множители методом группировки:
Значит, исходное уравнение можно записать в виде:
Ответ: 
Решите уравнение 
Решение. Подберем сначала целый корень данного уравнения среди делителей числа −8, являющимся свободным членом. Заметим, что 
подходит, поэтому у многочлена есть множитель 
Разложим многочлен на множители:
Второй множитель можно разложить на множители методом группировки:
Значит, исходное уравнение можно записать в виде:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Представим правую часть в виде 
решим неравенство, относительно аргументов логарифмов:
1 случай:
2 случай:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Найдем для начала ОДЗ неравенства. Нужно чтобы 
(то есть 
), 
(то есть 
) и 
то есть 
откуда 
Совмещая эти условия, получаем 
При таких x сделаем рационализацию. Имеем:
не входит в ОДЗ неравенства. Сократим на 
не забыв об этом:
Учитывая также условие 
получим окончательно 
Решите неравенство 
Решение. Представим правую часть в виде 
решим неравенство, относительно аргументов логарифмов:
1 случай:
2 случай:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Найдем для начала ОДЗ неравенства. Нужно чтобы 
(то есть 
или 
), 
(то есть 
) и
При таких x сделаем рационализацию. Имеем:
не забудем об этом и перекинем знаменатель наверх. Имеем:
Решая это неравенство методом интервалов, получаем 
С учетом ограничений ОДЗ ответом будет 
Правильная треугольная призма со стороной основания 6 см вписана в шар. Найдите объем призмы, если радиус шара 4 см.
Решение. Рассмотрим сечение шара плоскостью основания призмы. Это круг, в который вписан равносторонний треугольник со стороной 6. По теореме синусов его радиус можно найти по формуле:
Пусть O1 — центр этого круга, O — центр шара, A — одна из вершин призмы. Тогда треугольник OO1A — прямоугольный и
Итак, расстояние от центра шара до плоскости основания призмы равно 2, значит, высота призмы равна 
Тогда объем призмы равен:
Ответ: 
Правильная треугольная призма со стороной основания 3 см вписана в шар. Найдите объем призмы, если радиус 
см.
Решение. Рассмотрим сечение шара плоскостью основания призмы. Это круг, в который вписан равносторонний треугольник со стороной 3. По теореме синусов его радиус можно найти по формуле:
Пусть O1 — центр этого круга, O — центр шара, A — одна из вершин призмы. Тогда треугольник OO1A — прямоугольный и
Итак, расстояние от центра шара до плоскости основания призмы равно 3, значит, высота призмы равна 
Тогда объем призмы равен:
Ответ: 
Решите неравенство 
если 
Решение. Заметим, что 
откуда 
Получаем неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
если 
Решение. Заметим, что 
откуда 
Получаем неравенство:
Ответ: 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке [1; 6].
Решение. Возьмем производную данной функции:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
значит, функция 
убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наименьшее значение на данном отрезке она принимает в точке 
и равно:
Ответ: 1.
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке [−5; −1].
Решение. Возьмем производную данной функции:
Полученная производная положительна при 
и отрицательна при 
значит, функция убывает на отрезке 
и возрастает на отрезке 
Поэтому наибольшее значение на данном отрезке она принимает в точке 
и равно:
Ответ: −2.
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. Найдём производную и её значение в заданной точке:
Таким образом, получаем:
Ответ: 
Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке с абсциссой
Решение. Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. Найдём производную и её значение в заданной точке:
Значит,
Ответ: 
Найдите площадь поверхности правильного октаэдра, если расстояния между противолежащими вершинами равны 
Решение. Удобно представлять себе вершины правильного октаэдра как центры граней куба. Тогда из условия следует, что расстояние между противоположными центрами граней равно ребру куба, то есть 
Рассмотрим теперь ребро октаэдра — отрезок, соединяющий центры смежных граней куба. Пусть M, K, N — середины ребер A1B1, AB и CD соответственно. Пусть также O1 и O — центры граней A1B1BA и ABCD. Тогда OO1 — средняя линия треугольника KMN, поэтому 
Поскольку 
и A1M параллелен AK и DN, точки A1, M, N, D являются вершинами параллелограмма.
Итак,
Значит, поверхность октаэдра, состоящая из восьми равносторонних треугольников со стороной 
имеет площадь
Ответ: 
Найдите площадь поверхности правильного октаэдра, если расстояния между противолежащими вершинами равны 
Решение. Удобно представлять себе вершины правильного октаэдра как центры граней куба. Тогда из условия следует, что расстояние между противоположными центрами граней оно равно ребру куба, то есть 
Рассмотрим теперь ребро октаэдра — отрезок, соединяющий центры смежных граней куба. Пусть M, K, N — середины ребер A1B1, AB и CD соответственно. Пусть также O1 и O — центры граней 
и ABCD. Тогда OO1 — средняя линия треугольника KMN, поэтому Поскольку и A1M параллелен AK и DN, точки A1, M, N, D являются вершинами параллелограмма.
Итак,
Значит, поверхность октаэдра, состоящая из восьми равносторонних треугольников со стороной 
имеет площадь
Ответ: 
Решите систему уравнений
Решение. Упростим первое предложение системы:
Аналогично поступим и со вторым, то есть упростим его:
Тогда исходная система равнасильна следующей:
Ответ: {(2; −1)}.
Приведем другое решение.
Первое уравнение можно преобразовать как
Второе уравнение можно преобразовать к виду 
при условии 
Сокращая второе уравнение на 
(оно не равно нулю), получим
Если то 
Значит, 
Эти числа не подходят.
Если 
то 
Значит, 
Эти числа подходят.
Решите систему уравнений
Решение. Упростим первое предлжение системы:
Аналогично поступим и со вторым, то есть упростим его:
Тогда исходная система равнасильна следующей:
Ответ: {(3; 2)}.
Приведем другое решение.
Первое уравнение можно преобразовать как
Второе уравнение можно преобразовать к виду 
при условии 
Сокращая второе уравнение на 
(оно не равно нулю), получим
Если 
то 
Значит, 
Эти числа не подходят.
Если 
то 
Значит, 
Эти числа подходят.
Решите неравенство
Решение. Упростим:
Пусть где t>0, тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ:
Приведем другое решение.
Обозначим временно тогда неравенство примет вид
Ясно, что 
при всех допустимых x (то есть при 
). Осталось решить неравенство
Заметим, что функция 
является суммой возрастающих функций потому возрастает, причем для получается 
Значит, при будет 
а при 
будет 
Окончательный ответ 
Решите неравенство
Решение. Упростим:
Пусть где t>0, тогда:
Вернемся к исходной переменной:
Ответ:
Приведем другое решение.
Обозначим временно 
тогда неравенство примет вид
Ясно, что 
при всех допустимых x (то есть при условии 
). Поэтому первый луч решений не дает. Осталось решить неравенство
Очевидно при 
неравенство определено и верно. При 
возведем неравенство в квадрат (обе части неотрицательны) 
Отметим сразу, что условие 
выполнится для всех решений неравенства автоматически, поскольку для них
Итак, подходят 
и 
Объединяя, получаем окончательно 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство:
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Преобразуем неравенство:
Ответ: 
Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с боковой стороной 12 и углом при вершине 120° вокруг прямой, содержащей боковую сторону треугольника.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABS, у которого 
Тогда
Опустим высоту AH на продолжение BS. Заметим, что 
и
При вращении относительно прямой BS треугольник AHS заметает конус с вершиной S, осью SH и радиусом основания AH, а треугольник AHB заметает конус с вершиной S, осью SB и радиусом основания AH. Тело, описанное в условии задачи, представляет собой первый конус, из которого удалили второй. Значит,
Ответ: 
Найдите площадь поверхности тела, образованного вращением равнобедренного треугольника с боковой стороной 8 и углом при вершине 120° вокруг прямой, содержащей боковую сторону треугольника.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABS, у которого 
Тогда
Опустим высоту AH на продолжение BS. Заметим, что и
При вращении относительно прямой BS треугольник AHS заметает конус с вершиной S, осью SH и радиусом основания AH, а треугольник AHB заметает конус с вершиной S, осью SB и радиусом основания AH. Тело, описанное в условии задачи, представляет собой первый конус, из которого удалили второй. Значит,
Ответ: 
Решите неравенство 
Решение. Для начала отметим, что
В первом случае 
поэтому левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна и оно точно выполнено.
Во втором случае обе части неравенства неотрицательны и можно возвести его в квадрат:
Ответ: 
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 8 | |
| 2 | 18 | |
| 3 | 28 | |
| 4 | 38 | |
| 5 | 48 | |
| 6 | 58 | |
| 7 | 68 | {0; 6}. |
| 8 | 78 | {0; 2}. |
| 9 | 88 | |
| 10 | 98 | |
| 11 | 108 | |
| 12 | 118 | 1,5 |
| 13 | 128 | |
| 14 | 138 | |
| 15 | 148 | |
| 16 | 158 | |
| 17 | 168 | |
| 18 | 178 | |
| 19 | 188 | |
| 20 | 198 | |
| 21 | 208 | {(2; −1)}. |
| 22 | 218 | {(3; 2)}. |
| 23 | 228 | |
| 24 | 238 | |
| 25 | 248 | функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и |
| 26 | 258 | Функция возрастает на промежутке и на а убывает на промежутке и на Максимум и минимум функции соответственно равны и |
| 27 | 268 | |
| 28 | 278 | |
| 29 | 288 | |
| 30 | 298 | |
| 31 | 308 | 5. |
| 32 | 318 | 5. |
| 33 | 328 | |
| 34 | 338 | [1; 2). |
| 35 | 348 | |
| 36 | 358 | |
| 37 | 368 | |
| 38 | 378 | |
| 39 | 388 | {−7; 2}. |
| 40 | 398 | {−3; 8}. |
| 41 | 408 | |
| 42 | 418 | |
| 43 | 428 | см. рис. |
| 44 | 438 | см. рис. |
| 45 | 458 | |
| 46 | 468 | |
| 47 | 478 | |
| 48 | 488 | |
| 49 | 498 | |
| 50 | 508 | |
| 51 | 518 | {−8; 4}. |
| 52 | 528 | {−8; 14}. |
| 53 | 538 | |
| 54 | 548 | 1. |
| 55 | 558 | {(22; − 3)} |
| 56 | 568 | |
| 57 | 578 | |
| 58 | 588 | |
| 59 | 598 | |
| 60 | 608 | |
| 61 | 618 | |
| 62 | 628 | |
| 63 | 638 | |
| 64 | 648 | |
| 65 | 658 | |
| 66 | 668 | |
| 67 | 678 | |
| 68 | 688 | |
| 69 | 698 | |
| 70 | 708 | |
| 71 | 825 | 9. |
| 72 | 835 | 8. |
| 73 | 845 | |
| 74 | 855 | |
| 75 | 865 | |
| 76 | 875 | |
| 77 | 885 | |
| 78 | 895 | |
| 79 | 905 | |
| 80 | 915 | |
| 81 | 925 | |
| 82 | 935 | |
| 83 | 945 | |
| 84 | 955 | |
| 85 | 965 | −825°. |
| 86 | 975 | 90°. |
| 87 | 985 | |
| 88 | 995 | |
| 89 | 1005 | |
| 90 | 1015 | |
| 91 | 1045 | |
| 92 | 1055 | |
| 93 | 1075 | |
| 94 | 1085 | |
| 95 | 1095 | |
| 96 | 1105 | |
| 97 | 1115 | |
| 98 | 1145 | 21. |
| 99 | 1155 | 28. |
| 100 | 1185 | |
| 101 | 1205 | |
| 102 | 1215 | |
| 103 | 1245 | |
| 104 | 1255 | |
| 105 | 1265 | |
| 106 | 1275 | |
| 107 | 1285 | 1. |
| 108 | 1295 | −2. |
| 109 | 1345 | |
| 110 | 1355 | |
| 111 | 1405 | |
| 112 | 1415 | |
| 113 | 1465 | |
| 114 | 1475 | |
| 115 | 1485 | |
| 116 | 1495 | |
| 117 | 1508 | |