PDF-версии: 1. Задание № 9 
Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию, 5.11. Системы логарифмических уравнений
Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата
Задания на 9 баллов
i
Решите систему уравнений 
Решение. Преобразуем выражение:
Рассмотрим область определения:
Тогда из второго уравнения исходной системы имеем:
Пусть 
тогда:
Имеем:
Подставим 
в первое уравнение системы:
Найденным значениям x соответствуют следующие значения y: 
По ОДЗ подходит только пара корней 
Ответ:
Ответ:
9
Классификатор алгебры: 5.7. Уравнения с логарифмами по переменному основанию, 5.11. Системы логарифмических уравнений
Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата
тогда:
в первое уравнение системы:
в точке пересечения этого графика с осью 
Так как 
то 
— угол наклона касательной. Значит, углы искомого треугольника будут равны 90°, 60°, 30°.
в точке пересечения этого графика с осью 
Так как 
— угол наклона касательной. Значит, углы искомого треугольника будут равны 90°, 45°, 45°.
и докажите, что данная функция является четной.
:
и докажите, что данная функция является нечетной.
:
найдите промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функции (если они существуют).
убывает на 
и на 
Точка минимума: 
точка максимума: 
промежутки убывания: 
максимум функции: 
минимум функции: 
найдите промежутки возрастания и убывания, максимумы и минимумы функции (если они существуют).
убывает на 
и на 
Точка минимума: 
точка максимума: 
промежутки убывания: 
максимум функции: 
минимум функции: 
Имеем:
Имеем:
}.
при этом, 
Так как в трапецию можно вписать окружность, то 
Тогда,
— боковая грапь призмы, а угол 
равен соответственно 
Из треугольника 
получаем, что 
а сумма квадратов членов той же прогрессии равна 
Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
тогда:
тогда:
затем используем формулу синуса двойного аргумента:
затем применим формулы синуса двойного аргумента:
касательная в которой проходит через начало координат.
Приравняем правые части функций:
Решим квадратное уравнение относительно углового коэффициента, чтобы найти возможные уравнения касательных:
касательная в которой пересекает ось ординат в точке (0; 6).
Приравняем правые части функций:
Тогда дискриминант равен 0 при 
Подставим полученный угловой коэффициент в уравнение касательной, чтобый найти абсциссу точки касания:
а 
Найдём область допустимых значений неравенства:
то последняя совокупность равносильна следующему неравенству:
а 
тогда исходное неравенство равносильно следующему:
то последняя совокупность равносильна следующему неравенству:
Найдите первый член первоначальной прогрессии.
составим систему:
— парабола, ветви которой направлены вниз. Заметим, что 
поэтому при всех x парабола лежит ниже оси абсцисс. Следовательно, правая часть неравенства принимает только отрицательные значения. 
— парабола, ветви которой направлены вниз. Заметим, что 
поэтому при всех x парабола лежит ниже оси абсцисс. Следовательно, правая часть неравенства принимает только отрицательные значения. 
тогда:
тогда:
Для таких значений переменной в левой части получаем:
Для таких значений переменной в левой части получаем:
не имеет решений. Тогда:
не имеет решений. Тогда :
решим неравенство, относительно аргументов логарифмов:
решим неравенство, относительно аргументов логарифмов:
тогда последнее уравнение системы имеет вид:
тогда последнее уравнение системы имеет вид:
и 
тогда:
и 
тогда:
}.
в интервале 
целыми решениями являются 2 корня: 2 и 3.
в интервале 
целыми решениями являются 2 корня: 2 и 3.
а правая — возрастает, значит, уравнение 
имеет не более одного решения, причем это решение число 0. Поэтому решением неравенства является открытый луч 
а правая — возрастает, значит, уравнение 
имеет не более одного решения, причем это решение число −1. Поэтому решением неравенства является интервал
Воспользуемся формулой приведения. Имеем:
Имеем:
и 
определены при положительных x. Найдем корни уравнения 
Имеем:
и 
определены при положительных x. Найдем корни уравнения 
Воспользуемся свойствами логарифма:
с выколотыми точками каждые π единичных отрезков.
а слева — график 
циклически повторяющийся каждые π единичных отрезков.
Найдите угол наклона боковых ребер пирамиды к плоскости основания.
и 
Аналогично, 
Поэтому все вершины трапеции лежат на окружности радиуса 3 с центром в точке O. Значит, это и есть окружность основания конуса. Обозначим его высоту за h, тогда по условию
откуда 
Поскольку проекцией ребра TA на плоскость служит отрезок OA, это и есть угол наклона ребра к плоскости основания.
см, а один из углов 120°. Найдите объем конуса, если боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 30°.
Опустим перпендикуляры BH и CK на основание AD. Тогда в треугольнике ABH получаем 
Аналогично 
и 
Аналогично 
Поэтому все вершины трапеции лежат на окружности радиуса 
с центром в точке O. Значит, это и есть окружность основания конуса. Обозначим его высоту за h, тогда 
откуда 
выполнено (или не определено) неравенство 
поэтому все такие числа не подходят.
напротив, получаем 
выполнено (или не определено) неравенство 
поэтому все такие числа не подходят.
напротив, получаем 
растянуть его вдвое вдоль оси ординат, а затем отразить относительно оси абсцисс части так, как показано на рисунке.
растянуть его вдвое вдоль оси ординат, а затем отразить относительно относительно оси абсцисс части так, как показано на рисунке.
тогда:
тогда:
тогда
тогда
функция принимает вид: 
функция принимает вид: 
функция не определена.
который отличается от стандартного 
сжатием вдвое к оси ординат, а затем часть этого графика, соответствующую положительным значениям x еще растянуть вдвое от оси абсцисс. Начало координат нужно выколоть. Построим график искомой функции:
которая отличается от стандартного 
сжатием вдвое к оси ординат, а затем часть этого графика, соответствующую положительным значениям x еще растянуть вдвое от оси абсцисс. Построим искомый график:
и 
тогда решим квадратное уравнение:
и 
тогда решим квадратное уравнение
см3.
см3.
раз больше стороны основания
Высота конуса и пирамиды одинаковы (обозначим эту высоту за h). Тогда
см2.
раз. Имеем:
Высота конуса и пирамиды одинаковы (обозначим эту высоту за h). Тогда объем конуса равен 
а объем призмы равен 
Перенесем все в одну часть, разложим на множители и воспользуемся методом рационализации:
откуда 
то есть 
Это значение достигается при 
и исследовать на минимум функцию 
Это значение достигается при 
и исследовать на минимум функцию 
см.
как радиусы вписанной сферы), поэтому 
то есть 
см. Найдите объем пирамиды.
где a — ребро пирамиды. Апофема PM — высота треугольника PBC, значит, 
По теореме Пифагора в треугольнике PMH:
тогда 
и уравнение примет вид:
тогда 
и уравнение примет вид:
функция возрастает, при 
убывает, при 
имеет минимум, причем
вообще не определена.
убывает, при 
имеет минимум, причем
поэтому сторона основания равна 
диагональ в 
раз больше и равна 2, а половина диагонали (она же радиус окружности основания описанного конуса) равна 1. Тогда разность объемов равна:
поэтому сторона основания равна 
диагональ в 
Тогда 
аналогично 
Тогда второе уравнение примет вид 
а первое вид 
Из второго уравнения 
Подставим это выражение во второе уравнение:
можно сократить на 
и получить 
откуда 
откуда 
и 
откуда 
Тогда 
аналогично 
Тогда второе уравнение примет вид 
откуда 
и 
откуда 
а на положительной — с горизонтальным лучом, из которого выколоты точки, где тангенс не определен (то есть 
).
а на положительной — с горизонтальным лучом, из которого выколоты точки, где котангенс не определен (то есть 
).
По теореме синусов боковая сторона треугольника, то есть образующая конуса, равна:
По теореме синусов боковая сторона треугольника, то есть образующая конуса, равна:
и 
и 
и 
и 
и заметим, что 
Подставляя это во второе уравнение, получим 
откуда 
Разберем два случая.
то 
откуда 
поэтому 
то 
откуда 
поэтому 
Для обоих наборов выполнены равенства 
и 
поэтому они подходят в исходное уравнение.
Подставляя это во второе уравнение, получим 
откуда 
откуда 
поэтому 
откуда 
и 
Получим:
причем для всех целых положительных k значения x будут положительными. Значит, 
и осталось выбрать из 
и 
Ясно, что первое число больше.
Получим:
и осталось выбрать из 
Ясно, что первое число больше.
и постройте ее график.
получаем:
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
и отрицательна при 
Значит, функция выпукла вниз при 
а точки 
являются точками перегиба, причем
и постройте ее график.
и отрицательна при 
Значит, функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
Точка 
является точкой максимума функции, причем
и отрицательно при 
или при 
а точки 
являются точками перегиба, причем
тогда 
и уравнение принимает вид:
тогда 
и уравнение принимает вид:
на монотонность и экстремумы.
то есть 
и отрицателен при 
Значит, изначальная функция возрастает на промежутке 
и убывает на промежутке 
поэтому 
— точка минимума, причём
и возрастает на промежутке 
на монотонность и экстремумы.
то есть 
и отрицателен при 
Значит, изначальная функция возрастает на промежутке
и убывает на промежутке 
поэтому 
— точка минимума, причём
и возрастает на промежутке
получаем:
Либо:
Либо:
(то есть 
) график совпадает с графиком тангенса, при прочих x график совпадает с графиком тангенса, отраженным относительно горизонтальной оси. Заметим, что функция периодична с периодом 
поэтому достаточно построить ее график на промежутке длиной 
(то есть 
) график совпадает с графиком котангенса, при прочих x график совпадает с графиком котангенса, отраженным относительно горизонтальной оси. Заметим, что функция периодична с периодом 
то второе уравнение сводится к 
откуда 
то 
тогда второе уравнение сводится к
причем знак x и y выбирается одинаково.
откуда 
то 
тогда второе уравнение сводится к 
причем знак x и y выбирается различным.
и пользуясь свойствами логарифмов, получим:
и пользуясь свойствами логарифмов, получим:
